Desenhe o conjunto
e calcule a sua área:
e
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: desenhar o conjunto
e calcular a sua área. As informações dadas são:
- O conjunto é
. - Ou seja, para cada
entre e o varia de até .
Passo 2
Entendendo geometricamente o conjunto (como desenhar): a curva superior é
no intervalo
, e a fronteira inferior é o eixo
. Pontos-chave da função
no intervalo:
-
, , , , .
Como a função está em valor absoluto, os trechos ondeé negativo (em ) são refletidos para positivos. Logo o gráfico de no intervalo a tem duas “colinas” idênticas: uma em que sobe até em e volta a zero em ; outra em simétrica que também atinge em . O conjunto é a região delimitada por esse gráfico e pelo eixo .
Passo 3
Como calcular a área da região: a área de uma região limitada superiormente por uma curva
e inferiormente por
é dada pela integral definida
onde
e
são os extremos do intervalo em
. Aqui
e
. Então
Explicando a ideia: essa integral soma infinitas “tiras” de largura
e altura
, aproximando a área do conjunto.
Passo 4
Tratar o valor absoluto de forma prática: a função
é igual a
quando
e igual a
quando
. No intervalo considerado:
- Em
temos , logo . - Em
temos , logo .
Portanto podemos dividir a integral em duas partes no ponto ondemuda de sinal, que é .
Passo 5
Escrever a integral dividida:
Isto transforma o problema em calcular duas integrais de funções trigonométricas simples.
Passo 6
Calcular a primeira integral passo a passo. Lembrando a primitiva: uma primitiva de
é
, porque
. Então
Agora usar
e
:
Passo 7
Calcular a segunda integral passo a passo. Uma primitiva de
é
, porque
. Então
Usando
e
:
Passo 8
Somar as duas parcelas obtidas:
Comentário extra (intuitivo): cada “colina” de
tem área
, e há duas colinas idênticas no intervalo, por isso o total é
.
Passo 9
Conclusão amigável: o desenho é a região entre o eixo
e a curva
de
a
— duas colinas com máximo
— e a área dessa região é
. Força nos estudos — essa é daquelas integrais que caem direto se lembrar da primitiva de
!
Resposta
O conjunto
é a região abaixo de
para
.
Área .
Área