Desenhe o conjunto A e calcule a sua área:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 2 \pi\right. e \left.0 \leq y \leq|\operatorname{sen} x|\right\};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: desenhar o conjunto A e calcular a sua área. As informações dadas são:
  • O conjunto é A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le 2\pi \text{ e } 0 \le y \le |\operatorname{sen} x|\}.
  • Ou seja, para cada x entre 0 e 2\pi o y varia de 0 até y=|\operatorname{sen} x|.

Passo 2

Entendendo geometricamente o conjunto (como desenhar): a curva superior é y=|\operatorname{sen} x| no intervalo 0\le x\le 2\pi, e a fronteira inferior é o eixo y=0. Pontos-chave da função \operatorname{sen} x no intervalo:
  • \operatorname{sen} 0 = 0, \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1, \operatorname{sen} \pi = 0, \operatorname{sen} \frac{3\pi}{2}=-1, \operatorname{sen} 2\pi = 0.
    Como a função está em valor absoluto, os trechos onde \operatorname{sen} x é negativo (em \pi<x<2\pi) são refletidos para positivos. Logo o gráfico de y=|\operatorname{sen} x| no intervalo 0 a 2\pi tem duas “colinas” idênticas: uma em [0,\pi] que sobe até 1 em x=\frac{\pi}{2} e volta a zero em x=\pi; outra em [\pi,2\pi] simétrica que também atinge 1 em x=\frac{3\pi}{2}. O conjunto A é a região delimitada por esse gráfico e pelo eixo y=0.

Passo 3

Como calcular a área da região: a área de uma região limitada superiormente por uma curva y=f(x) e inferiormente por y=0 é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx,Á
onde a e b são os extremos do intervalo em x. Aqui f(x)=|\operatorname{sen} x| e a=0,\\ b=2\pi. Então
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi} |\operatorname{sen} x|\,dx.Á
Explicando a ideia: essa integral soma infinitas “tiras” de largura dx e altura f(x), aproximando a área do conjunto.

Passo 4

Tratar o valor absoluto de forma prática: a função |\operatorname{sen} x| é igual a \operatorname{sen} x quando \operatorname{sen} x\ge 0 e igual a -\operatorname{sen} x quando \operatorname{sen} x<0. No intervalo considerado:
  • Em 0\le x\le \pi temos \operatorname{sen} x\ge 0, logo |\operatorname{sen} x|=\operatorname{sen} x.
  • Em \pi\le x\le 2\pi temos \operatorname{sen} x\le 0, logo |\operatorname{sen} x|=-\operatorname{sen} x.
    Portanto podemos dividir a integral em duas partes no ponto onde \operatorname{sen} x muda de sinal, que é x=\pi.

Passo 5

Escrever a integral dividida:
\int_{0}^{2\pi} |\operatorname{sen} x|\,dx = \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\,dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\operatorname{sen} x)\,dx.
Isto transforma o problema em calcular duas integrais de funções trigonométricas simples.

Passo 6

Calcular a primeira integral passo a passo. Lembrando a primitiva: uma primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x, porque \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\operatorname{sen} x. Então
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos \pi\bigr)-\bigl(-\cos 0\bigr).
Agora usar \cos \pi = -1 e \cos 0 = 1:
\bigl(-\cos \pi\bigr)-\bigl(-\cos 0\bigr) = -(-1) - ( -1 ) = 1 - (-1) = 2.

Passo 7

Calcular a segunda integral passo a passo. Uma primitiva de -\operatorname{sen} x é \cos x, porque \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\operatorname{sen} x. Então
\int_{\pi}^{2\pi} (-\operatorname{sen} x)\,dx = \bigl[\cos x\bigr]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi).
Usando \cos(2\pi)=1 e \cos\pi=-1:
\cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2.

Passo 8

Somar as duas parcelas obtidas:
\text{Área} = 2 + 2 = 4.Á
Comentário extra (intuitivo): cada “colina” de y=|\operatorname{sen} x| tem área 2, e há duas colinas idênticas no intervalo, por isso o total é 4.

Passo 9

Conclusão amigável: o desenho é a região entre o eixo y=0 e a curva y=|\operatorname{sen} x| de 0 a 2\pi — duas colinas com máximo 1 — e a área dessa região é 4. Força nos estudos — essa é daquelas integrais que caem direto se lembrar da primitiva de \operatorname{sen} x!

Resposta

O conjunto A é a região abaixo de y=|\operatorname{sen} x| para 0\le x\le 2\pi.
Área =4.

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