Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- Função integranda:
. - Intervalo de integração:
vai de até .
O que precisamos encontrar: o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a integranda algebricamente para facilitar a integração. Uma ideia prática é escrever
como
e expandir:
Agora dividimos por
:
Expandindo o quadrado no numerador e dividindo termo a termo:
Essa decomposição é muito útil porque transforma a integranda em soma de termos fáceis de integrar.
Passo 3
Agora integramos termo a termo. Substituindo a decomposição na integral:
As primitivas de cada termo são:
-
Aqui é a variável de integração, constante arbitrária. -
(Regra: integral de é , com .) -
(Regra: para , aqui .)
Assim, uma primitiva para a integranda completa é
Como
no intervalo
, podemos retirar as barras do logaritmo:
.
Passo 4
Avaliaremos a primitiva nos limites
e
e subtrairemos:
Calculemos em
:
Calculemos em
:
pois
.
Agora a diferença:
Agrupando termos constantes:
Portanto o valor da integral é
Passo 5
(pequena verificação/intuition) Se alguém preferir, pode fazer a troca
para ver que a integral vira
, que conduz exatamente às mesmas primitivas e ao mesmo resultado
. Isso confirma que a decomposição algébrica e a integração termo a termo foram feitas corretamente. Força aí — essa técnica de escrever
como
e expandir é um truque prático que salva tempo nas provas!