Calcule
\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • Função integranda: \dfrac{x^{2}}{(x+1)^{2}}.
  • Intervalo de integração: x vai de 0 até 2.
O que precisamos encontrar: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a integranda algebricamente para facilitar a integração. Uma ideia prática é escrever x como (x+1)-1 e expandir:
x = (x+1)-1 \quad\Rightarrow\quad x^{2} = \big((x+1)-1\big)^{2}.
Agora dividimos por (x+1)^{2}:
\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}} = \frac{\big((x+1)-1\big)^{2}}{(x+1)^{2}}.
Expandindo o quadrado no numerador e dividindo termo a termo:
\frac{\big((x+1)-1\big)^{2}}{(x+1)^{2}} = \frac{(x+1)^{2} - 2(x+1) + 1}{(x+1)^{2}} = 1 - \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^{2}}.
Essa decomposição é muito útil porque transforma a integranda em soma de termos fáceis de integrar.

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Substituindo a decomposição na integral:
\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}\,dx = \int_{0}^{2}\left(1 - \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^{2}}\right)\,dx.
As primitivas de cada termo são:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x + C. Aqui x é a variável de integração, C constante arbitrária.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C. (Regra: integral de 1/u é \ln|u|, com u=x+1.)
  • \displaystyle \int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x+1} + C. (Regra: \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1, aqui n=-2.)
Assim, uma primitiva para a integranda completa é
F(x)=x - 2\ln|x+1| - \frac{1}{x+1}.
Como x+1>0 no intervalo [0,2], podemos retirar as barras do logaritmo: \ln|x+1|=\ln(x+1).

Passo 4

Avaliaremos a primitiva nos limites 0 e 2 e subtrairemos:
\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}\,dx = \biggl[x - 2\ln(x+1) - \frac{1}{x+1}\biggr]_{0}^{2}.
Calculemos em x=2:
F(2)=2 - 2\ln(3) - \frac{1}{3}.
Calculemos em x=0:
F(0)=0 - 2\ln(1) - \frac{1}{1} = -1,
pois \ln(1)=0.
Agora a diferença:
F(2)-F(0) = \left(2 - 2\ln(3) - \frac{1}{3}\right) - (-1).
Agrupando termos constantes:
2 - \frac{1}{3} + 1 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}.
Portanto o valor da integral é
\frac{8}{3} - 2\ln(3).

Passo 5

(pequena verificação/intuition) Se alguém preferir, pode fazer a troca u=x+1 para ver que a integral vira \int_{1}^{3}\bigl(1-2/u+1/u^{2}\bigr)\,du, que conduz exatamente às mesmas primitivas e ao mesmo resultado \dfrac{8}{3}-2\ln(3). Isso confirma que a decomposição algébrica e a integração termo a termo foram feitas corretamente. Força aí — essa técnica de escrever x como (x+1)-1 e expandir é um truque prático que salva tempo nas provas!

Resposta

\dfrac{8}{3}-2\ln(3)

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