Calcule.
\int_{\frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^3 x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências ímpares de seno. A ideia geral é usar a identidade \operatorname{sen}^3 x = \operatorname{sen} x\,(1-\cos^2 x) e, em seguida, a substituição u=\cos x.

Passo 2

Reescrevendo o integrando usando a identidade:
\int \operatorname{sen}^3 x\,dx =\int \operatorname{sen} x\,(1-\cos^2 x)\,dx =\int \operatorname{sen} x\,dx \;-\;\int \operatorname{sen} x\,\cos^2 x\,dx.

Passo 3

Fazendo a substituição u=\cos x, temos du = -\operatorname{sen} x\,dx, ou seja, \operatorname{sen} x\,dx = -du.
Então
\int \operatorname{sen} x\,dx = -\int du = -u = -\cos x + C_1,
e
\int \operatorname{sen} x\,\cos^2 x\,dx =-\int u^2\,du =-\frac{u^3}{3} + C_2 =-\frac{\cos^3 x}{3}+C_2.

Passo 4

Subtraindo as duas partes, a primitiva de \operatorname{sen}^3 x fica
\int \operatorname{sen}^3 x\,dx =\Bigl(-\cos x\Bigr)\;-\;\Bigl(-\tfrac{\cos^3 x}{3}\Bigr) =-\cos x+\frac{\cos^3 x}{3}+C.

Passo 5

Agora aplicamos os limites de \displaystyle x=\tfrac{2}{3} até \displaystyle x=\tfrac{\pi}{2}:
\left[-\cos x+\frac{\cos^3 x}{3}\right]_{x=\frac{2}{3}}^{x=\frac{\pi}{2}} =\Bigl(0\Bigr)\;-\;\Bigl(-\cos\!\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}\cos^3\!\tfrac{2}{3}\Bigr) =\cos\!\tfrac{2}{3}-\frac{\cos^3\!\tfrac{2}{3}}{3}.

Resposta

\cos\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\;-\;\frac{1}{3}\,\cos^3\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr).

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