1. Determine A e B tal que
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{\operatorname{sen}(x y)}{x y}, \text { se } 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\ A+\ln \left(e^{A}+x-y\right), \text { se }(x, y)=(0,0) \\\ \frac{A x+B y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \text { se } x^{2}+y^{2} \geq 1 \end{array}\right.
Seja contínuo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\operatorname{sen}(xy)}{xy},&0\le x^2+y^2\le1,\;(x,y)\neq(0,0),\\[1em] A+\ln\bigl(e^A+x-y\bigr),&(x,y)=(0,0),\\[0.5em] \displaystyle \frac{Ax+By}{\sqrt{x^2+y^2}},&x^2+y^2\ge1. \end{cases}
Queremos f contínua em \R^2. Precisamos de:
  1. continuidade em (0,0) (entre o ramo \operatorname{sen}(xy)/(xy) e o valor dado em (0,0)),
  2. continuidade na fronteira x^2+y^2=1 (entre os ramos interno e externo).]

Passo 2

Verificamos a continuidade em (0,0).
Quando (x,y)\to(0,0) ao longo do ramo interno,
\frac{\operatorname{sen}(xy)}{xy}\;\longrightarrow\;1.
Para (0,0) foi dado
f(0,0)=A+\ln\bigl(e^A+0-0\bigr) = A+\ln\bigl(e^A\bigr) = A + A =2A.
Igualando ao limite interno 1 para garantir continuidade, temos
2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.

Passo 3

Agora A=\tfrac12. Falta checar a fronteira x^2+y^2=1.
Para qualquer (x,y) com x^2+y^2=1 e xy\neq0, o ramo interno tende ao valor
\frac{\operatorname{sen}(xy)}{xy}\,,
enquanto o ramo externo atribui
\frac{Ax+By}{\sqrt{x^2+y^2}} =Ax+By \quad(\text{pois }\sqrt{x^2+y^2}=1).
A continuidade exigiria
Ax + By \;=\;\frac{\operatorname{sen}(xy)}{xy} \quad\forall\,(x,y)\text{ com }x^2+y^2=1,
o que é uma identidade impossível de satisfazer por uma forma linear Ax+By, pois \operatorname{sen}(xy)/(xy) não é linear na circunferência.

Resposta

Não existe valor de B que faça \,Ax+By=\operatorname{sen}(xy)/(xy)\, para toda a circunferência x^2+y^2=1. Portanto, o único A que garante continuidade em (0,0) é
A=\tfrac12,
mas nenhum B\in\R consegue assegurar continuidade na fronteira x^2+y^2=1. Logo, não há escolha de (A,B) que torne f contínua em todo \R^2.

Exercícios relacionados