Prove que as equações de Cauchy-Riemann são equivalentes a igualdade
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: seja uma função
escrita em coordenadas reais como
onde
e
são funções reais de
. As equações de Cauchy–Riemann, na convenção adotada aqui, são
Queremos provar que essas duas igualdades são equivalentes à única identidade complexa
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
em
e em
. Usando linearidade e derivadas de
e
, temos
Passo 3
Multiplicando
por
, obtemos
Portanto a igualdade complexa
torna-se, em termos de partes real e imaginária,
Igualando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária, segue
que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann na convenção escolhida.
Passo 4
Para a recíproca, suponha agora que as equações de Cauchy–Riemann
valham. Então construímos
e reconhecemos que o lado esquerdo é
e o direito é
. Logo
Resposta
As equações
são equivalentes à única igualdade complexa