Prove que as equações de Cauchy-Riemann são equivalentes a igualdade \frac{\partial f}{\partial x}= i \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja uma função f\colon\Omega\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C} escrita em coordenadas reais como
f(x,y)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde u e v são funções reais de (x,y). As equações de Cauchy–Riemann, na convenção adotada aqui, são
u_x = -\,v_y \quad\text{e}\quad u_y = v_x.
Queremos provar que essas duas igualdades são equivalentes à única identidade complexa
\frac{\partial f}{\partial x} = i\;\frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f em x e em y. Usando linearidade e derivadas de u e v, temos
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(u+i\,v\bigr) = u_x + i\,v_x,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(u+i\,v\bigr) = u_y + i\,v_y.

Passo 3

Multiplicando \partial f/\partial y por i, obtemos
i\,\frac{\partial f}{\partial y} = i\,(u_y + i\,v_y) = i\,u_y + i^2\,v_y = -\,v_y + i\,u_y.
Portanto a igualdade complexa
\frac{\partial f}{\partial x} \;=\; i\,\frac{\partial f}{\partial y}
torna-se, em termos de partes real e imaginária,
u_x + i\,v_x \;=\; -\,v_y + i\,u_y.
Igualando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária, segue
u_x = -\,v_y \quad\text{e}\quad v_x = u_y,
que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann na convenção escolhida.

Passo 4

Para a recíproca, suponha agora que as equações de Cauchy–Riemann
u_x = -\,v_y \quad\text{e}\quad u_y = v_x
valham. Então construímos
u_x + i\,v_x = -\,v_y + i\,u_y,
e reconhecemos que o lado esquerdo é \partial f/\partial x e o direito é i\,\partial f/\partial y. Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = i\,\frac{\partial f}{\partial y}.

Resposta

As equações
u_x = -\,v_y, \quad u_y = v_x
são equivalentes à única igualdade complexa
\frac{\partial f}{\partial x} = i\;\frac{\partial f}{\partial y}.

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