Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x\left(1-\cos ^{2} x\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x\bigl(1-\cos^{2}x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade 1-\cos^{2}x=\sin^{2}x e a técnica de substituição simples.

Passo 2

Use a identidade trigonométrica para simplificar o integrando:
1-\cos^{2}x=\sin^{2}x,
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\sin x\bigl(1-\cos^{2}x\bigr)=\sin x\cdot\sin^{2}x=\sin^{3}x.
Portanto a integral vira
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin^{3}x\,dx.

Passo 3

Para integrar \sin^{3}x, escrevemos
\sin^{3}x=\sin^{2}x\cdot\sin x=(1-\cos^{2}x)\sin x,
e fazemos a substituição
u=\cos x,\quad du=-\sin x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx=-du.

Passo 4

Transformando os limites: quando x=0, u=\cos0=1; quando x=\tfrac{\pi}{3}, u=\cos\!\tfrac{\pi}{3}=\tfrac12. A integral fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\!(1-\cos^{2}x)\sin x\,dx =\int_{u=1}^{u=\tfrac12}(1-u^{2})(-du) =\int_{u=\tfrac12}^{u=1}(1-u^{2})\,du.

Passo 5

Calcule a integral de polinômio:
\int(1-u^{2})\,du =u-\frac{u^{3}}{3}.
Avalie de u=\tfrac12 até u=1:
\Bigl(u-\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr)\Big|_{\tfrac12}^{1} =\Bigl(1-\tfrac{1}{3}\Bigr)-\Bigl(\tfrac12-\tfrac{(\tfrac12)^{3}}{3}\Bigr) =\tfrac{2}{3}-\Bigl(\tfrac12-\tfrac{1}{24}\Bigr) =\tfrac{2}{3}-\tfrac{11}{24} =\tfrac{16}{24}-\tfrac{11}{24} =\tfrac{5}{24}.

Resposta

\frac{5}{24}.

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