a) Determine \alpha e \beta de modo que
\begin{aligned} & \qquad \operatorname{sen} 6 x \cos x=\frac{1}{2}(\operatorname{sen} \alpha x+\operatorname{sen} \beta x) \\ & \left(\text { Sugestão: } \operatorname{sen} p+\operatorname{sen} q=2 \operatorname{sen} \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} \cdot\right) \\ & \text { b) Calcule } \int \operatorname{sen} 6 x \cos x d x \text {. } \end{aligned}ã

Passo 1

O enunciado pede, em (a), que a gente escreva o produto \sin(6x)\cos(x) como
\frac12\bigl(\sin(\alpha x)+\sin(\beta x)\bigr),
usando a sugestão
\sin p + \sin q = 2\sin\!\bigl(\tfrac{p+q}2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{p-q}2\bigr).
Em (b), precisamos calcular \displaystyle\int \sin(6x)\cos(x)\,dx usando o resultado de (a).

Passo 2

Para achar \alpha e \beta, comece escrevendo
\sin(\alpha x)+\sin(\beta x) =2\sin\!\Bigl(\tfrac{\alpha x+\beta x}2\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{\alpha x-\beta x}2\Bigr).
Como queremos
\sin(6x)\cos(x) =\tfrac12\bigl(\sin(\alpha x)+\sin(\beta x)\bigr),
multiplicando ambos os lados por 2 dá
2\sin(6x)\cos(x) =\sin(\alpha x)+\sin(\beta x) =2\sin\!\Bigl(\tfrac{\alpha+\beta}2\,x\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{\alpha-\beta}2\,x\Bigr).
Logo devemos ter
\frac{\alpha+\beta}2 = 6, \quad \frac{\alpha-\beta}2 = 1.

Passo 3

Resolva o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta = 12,\\\ \alpha-\beta = 2, \end{cases}
somando e subtraindo, vem
\alpha = 7, \quad \beta = 5.
Portanto
\sin(6x)\cos(x) =\tfrac12\bigl(\sin(7x)+\sin(5x)\bigr).

Passo 4

Agora, para calcular \displaystyle\int \sin(6x)\cos(x)\,dx, use a forma soma:
\int \sin(6x)\cos(x)\,dx =\tfrac12\int\bigl(\sin(7x)+\sin(5x)\bigr)\,dx.
Integre termo a termo, lembrando \int\sin(kx)\,dx=-\tfrac1k\cos(kx):
\tfrac12\int\sin(7x)\,dx =-\tfrac12\cdot\tfrac1{7}\cos(7x) =-\tfrac1{14}\cos(7x),
\tfrac12\int\sin(5x)\,dx =-\tfrac12\cdot\tfrac1{5}\cos(5x) =-\tfrac1{10}\cos(5x).
Somando e acrescentando a constante C, achamos o resultado final.

Resposta

a) \alpha=7 e \beta=5.
b) \int \sin(6x)\cos(x)\,dx =-\tfrac1{14}\cos(7x)\;-\;\tfrac1{10}\cos(5x)\;+\;C.

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