Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+10 y=e^{3 x}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 7y' + 10y = e^{3x},
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2.
O método será: primeiro achar a solução geral da homogênea via equação característica, depois usar variação de parâmetros para obter uma solução particular, e enfim aplicar o PVI para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea é
r^2 - 7r + 10 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2},
resultando em r_1 = 5 e r_2 = 2.
Portanto duas soluções fundamentais são
y_1(x) = e^{5x},\quad y_2(x) = e^{2x}.
Substituindo cada uma em y'' - 7y' + 10y dá zero, confirmando que são soluções da homogênea.

Passo 3

O Wronskiano de y_1,y_2 é dado por
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^{5x}\cdot(2e^{2x}) - (5e^{5x})\cdot e^{2x} = -3e^{7x}.]

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos funções u_1,u_2 tais que
u_1' = -\frac{y_2 \, g(x)}{W(x)},\quad u_2' = \frac{y_1 \, g(x)}{W(x)},
onde g(x)=e^{3x}. Assim,
u_1' = -\frac{e^{2x}\,e^{3x}}{-3e^{7x}} = \frac{e^{5x}}{3e^{7x}} = \tfrac{1}{3}e^{-2x},
u_2' = \frac{e^{5x}\,e^{3x}}{-3e^{7x}} = -\tfrac{1}{3}e^{x}.

Passo 5

Integramos para encontrar u_1,u_2:
u_1(x) = \int \tfrac{1}{3}e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{6}e^{-2x}, \quad u_2(x) = \int -\tfrac{1}{3}e^{x}\,dx = -\tfrac{1}{3}e^{x}.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\tfrac{1}{6}e^{-2x}\Bigr)e^{5x} + \Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{x}\Bigr)e^{2x} = -\tfrac{1}{6}e^{3x} - \tfrac{1}{3}e^{3x} = -\tfrac{1}{2}e^{3x}.

Passo 7

A solução geral da não homogênea é
y(x) = C_1 e^{5x} + C_2 e^{2x} - \tfrac{1}{2}e^{3x}.
Calculamos y'(x):
y' = 5C_1 e^{5x} + 2C_2 e^{2x} - \tfrac{3}{2}e^{3x}.
Impondo y(0)=1 e y'(0)=2 resulta no sistema
C_1 + C_2 - \tfrac12 = 1, \quad 5C_1 + 2C_2 - \tfrac32 = 2.

Passo 8

Reescrevendo o sistema:
C_1 + C_2 = \tfrac32, \quad 5C_1 + 2C_2 = \tfrac72.
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda:
5C_1 + 2C_2 - (2C_1 + 2C_2) = \tfrac72 - 3 \;\Longrightarrow\; 3C_1 = \tfrac14 \;\Longrightarrow\; C_1 = \tfrac{1}{6},
e então
C_2 = \tfrac32 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{9}{6} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{8}{6} = \tfrac{4}{3}.

Resposta

A solução do PVI é
\boxed{y(x) = \tfrac{1}{6}e^{5x} + \tfrac{4}{3}e^{2x} - \tfrac{1}{2}e^{3x}}.

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