a) Determine \alpha e \beta de modo que
\operatorname{sen} 3 x \cos 2 x=-\frac{1}{2}(\cos \alpha x-\cos \beta x)
(Sugestão: \cos p-\cos q=-2 \operatorname{sen} \frac{p-q}{2} \operatorname{sen} \frac{p+q}{2}.)
b) Calcule \int \operatorname{sen} 3 x \cos 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede, em (a), encontrar constantes \alpha e \beta tais que
\sen3x\cos2x=-\tfrac12\bigl(\cos(\alpha x)-\cos(\beta x)\bigr)
e, em (b), calcular \displaystyle\int \sen3x\cos2x\,dx. Para isso vamos usar identidades de soma de ângulos e a representação de produto em diferença de cossenos.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen} A\cos B=-\tfrac12\bigl(\cos(A+B)-\cos(A-B)\bigr).
Tomando A=3x e B=2x obtemos
\sen3x\cos2x=-\tfrac12\bigl(\cos(3x+2x)-\cos(3x-2x)\bigr) =-\tfrac12\bigl(\cos5x-\cos x\bigr).
Comparando com -\tfrac12(\cos(\alpha x)-\cos(\beta x)) vemos que
\alpha=5,\qquad \beta=1.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int \sen3x\cos2x\,dx substituímos a expressão achada:
\int \sen3x\cos2x\,dx =-\tfrac12\int\bigl(\cos5x-\cos x\bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int\cos5x\,dx=\tfrac1{5}\sen5x, \qquad \int\cos x\,dx=\operatorname{sen} x.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \sen3x\cos2x\,dx =-\tfrac12\Bigl(\tfrac1{5}\sen5x-\operatorname{sen} x\Bigr)+C =-\tfrac1{10}\sen5x+\tfrac12\operatorname{sen} x+C.

Resposta

(a) \alpha=5 e \beta=1.
(b) \displaystyle\int \sen3x\cos2x\,dx=-\tfrac1{10}\sen5x+\tfrac12\operatorname{sen} x+C.

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