Quais são os tipos de formas indeterminadas em que é possível aplicar a regra de L’Hospital?

Passo 1

O enunciado pergunta em quais situações de indeterminação pode ser aplicada diretamente a regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é limites de quocientes cujo numerador e denominador tendem a valores que não nos permitem avaliar o limite diretamente. Para usar a regra, precisamos identificar o tipo de indeterminação do limite.

Passo 2

A regra de L’Hôpital é válida apenas quando o limite inicial de uma função na forma de quociente \frac{f(x)}{g(x)}
é diretamente do tipo \frac{0}{0}
ou \frac{\infty}{\infty}.
Nesses casos, se f e g forem diferenciáveis num intervalo aberto contendo o ponto de interesse (exceto possivelmente nele), podemos substituir
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \quad\text{por}\quad \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
sempre que o segundo limite existir ou seja \pm\infty.

Passo 3

As demais formas indeterminadas clássicas — 0\cdot\infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0
não admitem aplicação direta da regra. Para esses casos, costuma-se reescrever a expressão de modo a obter um quociente com forma \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty} (por exemplo, via fatoração, mudança para logaritmos, inversão de frações, etc.) e então aplicar L’Hôpital.

Resposta

As formas indeterminadas em que se aplica diretamente a regra de L’Hôpital são \displaystyle \frac{0}{0}
e \displaystyle \frac{\infty}{\infty}.

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