Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}}{e^{x}}.
O conteúdo envolvido é o de limites que resultam na forma \infty/\infty e a ferramenta que usaremos é a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Observamos que, ao fazermos x\to\infty, o numerador x^{4} cresce sem limite e o denominador e^{x} também cresce sem limite, gerando a forma indeterminada \infty/\infty. Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando ambos geram \infty/\infty.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x},
portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}}{e^{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{3}}{e^{x}}.

Passo 4

Repetimos a aplicação de L’Hôpital mais três vezes, pois ainda temos forma \infty/\infty:
  1. Segunda vez:
\frac{d}{dx}(4x^{3})=12x^{2}, \quad \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x},
\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{3}}{e^{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{12x^{2}}{e^{x}}.
  1. Terceira vez:
\frac{d}{dx}(12x^{2})=24x, \quad \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x},
\lim_{x\to\infty}\frac{12x^{2}}{e^{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{24x}{e^{x}}.
  1. Quarta vez:
\frac{d}{dx}(24x)=24, \quad \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x},
\lim_{x\to\infty}\frac{24x}{e^{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{24}{e^{x}}.

Passo 5

Agora, ao fazermos x\to\infty, temos e^{x}\to\infty enquanto o numerador fica constante 24. Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{24}{e^{x}}=0.

Resposta

0

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