Calcule
\int \frac{1}{\sqrt{16-(x-1)^{2}}} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o integral indefinido \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{16-(x-1)^{2}}}\,dx.
  • Pede-se encontrar uma antiderivada (ou seja, calcular o integral indefinido), incluindo a constante de integração C.
  • Observação útil: a expressão dentro da raiz exige (x-1)^{2}\le 16, ou seja x\in[-3,5] para que a raiz seja real; a antiderivada que vamos obter é válida em intervalos contidos nessa região.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão com uma mudança de variável simples (deslocamento do eixo x):
  • Defina u = x-1. Então du = dx.
  • Substituindo na integral obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{16-(x-1)^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{16-u^{2}}}\,du.
Explicação: isso só centraliza a expressão em torno de u=0, deixando a forma padrão \sqrt{a^{2}-u^{2}} com a=4.

Passo 3

Reconhecendo a forma padrão e escolhendo o método:
  • A integral \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\,du é uma forma padrão. Uma maneira didática de entender por que a antiderivada envolve \arcsin é usar substituição trigonométrica.
  • Aqui a=4. Vamos usar a substituição trigonométrica
u = 4\sin\theta.
Motivação: com u= a\sin\theta fica a^{2}-u^{2}=a^{2}\cos^{2}\theta, e a raiz simplifica.

Passo 4

Aplicando a substituição trigonométrica:
  • Se u=4\sin\theta então du = 4\cos\theta\,d\theta.
  • A raiz transforma-se assim:
\sqrt{16-u^{2}}=\sqrt{16-16\sin^{2}\theta}=\sqrt{16\cos^{2}\theta}=4\lvert\cos\theta\rvert.
  • Tomamos o ramo onde \cos\theta\ge 0 (coerente com a definição principal de \arcsin), então \sqrt{16-u^{2}}=4\cos\theta.
  • Substituindo tudo na integral:
\int \frac{1}{\sqrt{16-u^{2}}}\,du = \int \frac{1}{4\cos\theta}\cdot(4\cos\theta)\,d\theta = \int 1\,d\theta.

Passo 5

Integração e retorno às variáveis originais:
  • Da etapa anterior, \int 1\,d\theta = \theta + C.
  • Voltando para u: como u=4\sin\theta, tem-se \sin\theta = \dfrac{u}{4} e, portanto, \theta = \arcsin\!\left(\dfrac{u}{4}\right).
  • Lembrando que u=x-1, substituímos de volta:
\text{antiderivada} = \arcsin\!\left(\dfrac{x-1}{4}\right) + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para checar):
  • Derive \arcsin\!\left(\dfrac{x-1}{4}\right):
\frac{d}{dx}\left[\arcsin\!\left(\dfrac{x-1}{4}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x-1}{4}\right)^{2}}}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{4\sqrt{1-\dfrac{(x-1)^{2}}{16}}} = \frac{1}{\sqrt{16-(x-1)^{2}}}.
  • A derivada coincide com a integranda, então a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \arcsin\!\left(\frac{x-1}{4}\right)+C

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