Calcule
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o integral indefinido
. - Pede-se encontrar uma antiderivada (ou seja, calcular o integral indefinido), incluindo a constante de integração
. - Observação útil: a expressão dentro da raiz exige
, ou seja para que a raiz seja real; a antiderivada que vamos obter é válida em intervalos contidos nessa região.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão com uma mudança de variável simples (deslocamento do eixo
):
- Defina
. Então . - Substituindo na integral obtemos
Explicação: isso só centraliza a expressão em torno de
, deixando a forma padrão
com
.
Passo 3
Reconhecendo a forma padrão e escolhendo o método:
- A integral
é uma forma padrão. Uma maneira didática de entender por que a antiderivada envolve é usar substituição trigonométrica. - Aqui
. Vamos usar a substituição trigonométrica
Motivação: com
fica
, e a raiz simplifica.
Passo 4
Aplicando a substituição trigonométrica:
- Se
então . - A raiz transforma-se assim:
- Tomamos o ramo onde
(coerente com a definição principal de ), então . - Substituindo tudo na integral:
Passo 5
Integração e retorno às variáveis originais:
- Da etapa anterior,
. - Voltando para
: como , tem-se e, portanto, . - Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 6
Verificação rápida (derivando para checar):
- Derive
:
- A derivada coincide com a integranda, então a antiderivada está correta.