Calcule
\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2} \sqrt{2}} \frac{d x}{x^{2} \sqrt{25-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5\sqrt{2}}{2}} \frac{dx}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}}.
O conteúdo da matéria envolvido é integração por substituição trigonométrica; vamos usar a substituição x = 5\sin\theta.

Passo 2

Fazendo x = 5\sin\theta implica
dx = 5\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{25 - x^{2}} = \sqrt{25 - 25\sin^{2}\theta} = 5\cos\theta.
No integrando aparece
\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}} = \frac{5\cos\theta\,d\theta}{(5\sin\theta)^{2}\cdot 5\cos\theta} = \frac{5\cos\theta}{25\sin^{2}\theta\cdot 5\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{25}\csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Precisamos também mudar os limites. Quando x=\tfrac{5}{2}, temos \sin\theta=\tfrac{1}{2} e \theta=\tfrac{\pi}{6}. Quando x=\tfrac{5\sqrt{2}}{2}, \sin\theta=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \theta=\tfrac{\pi}{4}. Logo a integral vira
\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5\sqrt{2}}{2}} \frac{dx}{x^{2}\sqrt{25 - x^{2}}} = \frac{1}{25} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabendo que \displaystyle \int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta, avaliamos em \theta=\tfrac{\pi}{6} a \theta=\tfrac{\pi}{4}:
\frac{1}{25}\bigl[-\cot\theta\bigr]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{25}\bigl(-\cot\tfrac{\pi}{4} + \cot\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{1}{25}\bigl(-1 + \sqrt{3}\bigr) = \frac{\sqrt{3}-1}{25}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{25}

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