Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
\begin{array}{lll} \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x} d x & \int \frac{1}{x^{3}+9 x} d x & \int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x \\\ \int \frac{2 x+1}{2 x^{2}+3 x-2} d x & \int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x & \int \frac{1}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} d x \\\ \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4 x-4} d x & \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{x^{3}-1} d x & \int \frac{4 x^{4}}{x^{4}-x^{3}-6 x^{2}+4 x+8} d x \\\ \int \frac{3 x^{2}}{2 x^{3}-x^{2}-2 x+1} d x & \int \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}-2 x+1} d x & \int \frac{x^{2}}{3 x^{2}-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}} d x \end{array}
Passo 1
O enunciado pede para calcular doze integrais indefinidas de funções racionais e de tipos afins. Para todas elas vamos usar combinações de:
divisão de polinômios quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador;
decomposição em frações parciais de formas lineares e quadráticas irreduzíveis;
substituições que transformem o numerador em derivada do denominador;
fórmulas padrão de \displaystyle\int\frac{du}{u^2+a^2} e \displaystyle\int\frac{du}{u^2+a^2)^2}.
Passo 2
Classificamos cada integral e apontamos o método principal:
\displaystyle\int\frac{2x^3}{x^2+x}\,dx – divisão polinomial e termo sobre (x+1).
\displaystyle\int\frac{1}{x^3+9x}\,dx – fatoração x(x^2+9) e frações parciais.
\displaystyle\int\frac{x-1}{(x^2+2x+3)^2}\,dx – completar quadrado e separar em dois integrandos, um exato e outro de tipo \int\frac{du}{(u^2+a^2)^2}.
\displaystyle\int\frac{2x+1}{2x^2+3x-2}\,dx – escrever numerador como múltiplo da derivada do denominador mais constante, depois fração parcial simples.
\displaystyle\int\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}\,dx – frações parciais do tipo A/(x^2+1)+B/(x^2+4).
\displaystyle\int\frac{1}{x\,(x^2-x+1)^2}\,dx – frações parciais com termo simples sobre x e termos sobre x^2-x+1 e seu quadrado.
\displaystyle\int\frac{x-1}{x^3+x^2-4x-4}\,dx – fatoração do denominador por agrupamento e frações parciais.
\displaystyle\int\frac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}\,dx – divisão polinomial (grau 3/3) e depois termo tipo \int\frac{dx}{x^3-1}.
\displaystyle\int\frac{4x^4}{x^4-x^3-6x^2+4x+8}\,dx – divisão polinomial e frações parciais em fatores lineares e quadráticos.
\displaystyle\int\frac{3x^2}{2x^3-x^2-2x+1}\,dx – ver se o numerador é múltiplo da derivada do denominador e decompor o resto.
\displaystyle\int\frac{x^2+5x+4}{x^2-2x+1}\,dx – divisão polinomial (grau 2/2) e termo tipo \int\frac{dx}{(x-1)^2}.
\displaystyle\int\frac{x^2}{3x^2-\tfrac12x-\tfrac12}\,dx – primeiro fatorar 3 no denominador, depois completar o quadrado e usar substituição para arctan.
Passo 3
Aplicando os métodos acima (os detalhes de coeficientes e constantes são obtidos resolvendo sistemas lineares para as frações parciais, e usando as fórmulas-padrão), obtemos as antiderivadas abaixo (todas acrescidas de +C):