Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
\begin{array}{lll} \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x} d x & \int \frac{1}{x^{3}+9 x} d x & \int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x \\\ \int \frac{2 x+1}{2 x^{2}+3 x-2} d x & \int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x & \int \frac{1}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} d x \\\ \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4 x-4} d x & \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{x^{3}-1} d x & \int \frac{4 x^{4}}{x^{4}-x^{3}-6 x^{2}+4 x+8} d x \\\ \int \frac{3 x^{2}}{2 x^{3}-x^{2}-2 x+1} d x & \int \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}-2 x+1} d x & \int \frac{x^{2}}{3 x^{2}-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}} d x \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para calcular doze integrais indefinidas de funções racionais e de tipos afins. Para todas elas vamos usar combinações de:
  1. divisão de polinômios quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador;
  2. decomposição em frações parciais de formas lineares e quadráticas irreduzíveis;
  3. substituições que transformem o numerador em derivada do denominador;
  4. fórmulas padrão de \displaystyle\int\frac{du}{u^2+a^2} e \displaystyle\int\frac{du}{u^2+a^2)^2}.

Passo 2

Classificamos cada integral e apontamos o método principal:
  1. \displaystyle\int\frac{2x^3}{x^2+x}\,dx – divisão polinomial e termo sobre (x+1).
  2. \displaystyle\int\frac{1}{x^3+9x}\,dx – fatoração x(x^2+9) e frações parciais.
  3. \displaystyle\int\frac{x-1}{(x^2+2x+3)^2}\,dx – completar quadrado e separar em dois integrandos, um exato e outro de tipo \int\frac{du}{(u^2+a^2)^2}.
  4. \displaystyle\int\frac{2x+1}{2x^2+3x-2}\,dx – escrever numerador como múltiplo da derivada do denominador mais constante, depois fração parcial simples.
  5. \displaystyle\int\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}\,dx – frações parciais do tipo A/(x^2+1)+B/(x^2+4).
  6. \displaystyle\int\frac{1}{x\,(x^2-x+1)^2}\,dx – frações parciais com termo simples sobre x e termos sobre x^2-x+1 e seu quadrado.
  7. \displaystyle\int\frac{x-1}{x^3+x^2-4x-4}\,dx – fatoração do denominador por agrupamento e frações parciais.
  8. \displaystyle\int\frac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}\,dx – divisão polinomial (grau 3/3) e depois termo tipo \int\frac{dx}{x^3-1}.
  9. \displaystyle\int\frac{4x^4}{x^4-x^3-6x^2+4x+8}\,dx – divisão polinomial e frações parciais em fatores lineares e quadráticos.
  10. \displaystyle\int\frac{3x^2}{2x^3-x^2-2x+1}\,dx – ver se o numerador é múltiplo da derivada do denominador e decompor o resto.
  11. \displaystyle\int\frac{x^2+5x+4}{x^2-2x+1}\,dx – divisão polinomial (grau 2/2) e termo tipo \int\frac{dx}{(x-1)^2}.
  12. \displaystyle\int\frac{x^2}{3x^2-\tfrac12x-\tfrac12}\,dx – primeiro fatorar 3 no denominador, depois completar o quadrado e usar substituição para arctan.

Passo 3

Aplicando os métodos acima (os detalhes de coeficientes e constantes são obtidos resolvendo sistemas lineares para as frações parciais, e usando as fórmulas-padrão), obtemos as antiderivadas abaixo (todas acrescidas de +C):
  1. \displaystyle x^2-2x+2\ln\lvert x+1\rvert
  2. \displaystyle \tfrac19\ln\lvert x\rvert \;-\;\tfrac1{18}\ln\bigl(x^2+9\bigr)
  3. \displaystyle -\frac{x+2}{2\,(x^2+2x+3)} \;-\;\frac1{2\sqrt2}\,\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt2}\Bigr)
  4. \displaystyle \tfrac12\ln\lvert2x^2+3x-2\rvert\;-\;\tfrac14\ln\bigl\lvert x-\tfrac12\bigr\rvert\;+\;\tfrac14\ln\lvert x+2\rvert
  5. \displaystyle \tfrac13\arctan x\;-\;\tfrac16\arctan\!\Bigl(\tfrac x2\Bigr)
  6. \displaystyle -\frac1{x}-\frac{2x-1}{(x^2-x+1)}\;-\;\frac{3}{\sqrt3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr)
  7. \displaystyle \frac14\ln\lvert x+2\rvert\;-\;\frac14\ln\lvert x-1\rvert
  8. \displaystyle x+1\;+\;\tfrac{\sqrt3}{3}\,\arctan\!\Bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr)
  9. \displaystyle 2\ln\lvert x-2\rvert\;-\;\ln\lvert x+1\rvert\;+\;\tfrac12\ln\bigl(x^2+4\bigr)
  10. \displaystyle \frac32\ln\bigl\lvert2x^3-x^2-2x+1\bigr\rvert\;-\;\frac12\ln\lvert x-1\rvert
  11. \displaystyle x+7\;+\;\frac{2}{x-1}
  12. \displaystyle \frac{x}{3}-\frac{1}{12}\,\sqrt{\frac3}{\phantom|}\,\arctan\!\Bigl(2x-1\Bigr)

Resposta

(1) x^2-2x+2\ln\lvert x+1\rvert +C
(2) \tfrac19\ln\lvert x\rvert -\tfrac1{18}\ln(x^2+9)+C
(3) -\frac{x+2}{2(x^2+2x+3)} -\frac1{2\sqrt2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt2}\bigr)+C
(4) \tfrac12\ln\lvert2x^2+3x-2\rvert-\tfrac14\ln\lvert x-\tfrac12\rvert+\tfrac14\ln\lvert x+2\rvert+C
(5) \tfrac13\arctan x -\tfrac16\arctan\!\bigl(\tfrac x2\bigr)+C
(6) -\tfrac1{x}-\tfrac{2x-1}{x^2-x+1}-\tfrac{3}{\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr)+C
(7) \tfrac14\ln\lvert x+2\rvert-\tfrac14\ln\lvert x-1\rvert+C
(8) x+1+\tfrac{\sqrt3}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt3}\bigr)+C
(9) 2\ln\lvert x-2\rvert-\ln\lvert x+1\rvert+\tfrac12\ln(x^2+4)+C
(10) \tfrac32\ln\lvert2x^3-x^2-2x+1\rvert-\tfrac12\ln\lvert x-1\rvert+C
(11) x+7+\tfrac{2}{x-1}+C
(12) \tfrac{x}{3}-\tfrac{\sqrt3}{12}\arctan\!\bigl(2x-1\bigr)+C

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