Calcule
\int \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x} d x \quad \text { para } x \leq-2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx
no domínio x\le -2. O conteúdo aqui é manipular raízes quadráticas em integrais usando uma substituição que torne a expressão racional em termos de uma nova variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{x^{2}-4}.
Então u^{2} = x^{2}-4, logo
x^{2} = u^{2}+4 \quad\text{e}\quad 2u\,du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = u\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em u. Temos \sqrt{x^{2}-4}=u e dx = \frac{u\,du}{x}, de modo que
\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx = \frac{u}{x}\cdot\frac{u\,du}{x} = \frac{u^{2}}{x^{2}}\,du.
Como x^{2}=u^{2}+4, a integral vira
\int \frac{u^{2}}{u^{2}+4}\,du.

Passo 4

Dividimos a fração:
\frac{u^{2}}{u^{2}+4} = 1 \;-\;\frac{4}{u^{2}+4}.
Logo
\int \frac{u^{2}}{u^{2}+4}\,du = \int 1\,du \;-\; 4\int \frac{1}{u^{2}+4}\,du = u \;-\; 4\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) + C = u \;-\;2\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)+C.

Passo 5

Voltando a x pela relação u=\sqrt{x^{2}-4}, obtemos
\int \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx = \sqrt{x^{2}-4} \;-\;2\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\Bigr) + C,
válido para x\le -2.

Resposta

\boxed{\int \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx = \sqrt{x^{2}-4} -2\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\Bigr) + C\quad(x\le-2).}

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