Encontre \int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\left(4 x^{2}+9\right)^{\frac{3}{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\bigl(4x^{2}+9\bigr)^{3/2}}\,dx
O conteúdo principal é usar substituição para transformar a expressão em algo do tipo \int u^{n}\,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4x^{2} + 9 \qquad\Longrightarrow\qquad du = 8x\,dx
e escrevemos x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx. Observe que
x^{2} = \frac{u-9}{4}, \qquad x\,dx = \frac{du}{8}.

Passo 3

Substituindo na integral temos
\int \frac{x^{3}}{(4x^{2}+9)^{3/2}}\,dx = \int \frac{\bigl(\tfrac{u-9}{4}\bigr)\,\bigl(\tfrac{du}{8}\bigr)}{u^{3/2}} = \frac{1}{32}\,\int \frac{u-9}{u^{3/2}}\,du = \frac{1}{32}\int\bigl(u^{-1/2}-9\,u^{-3/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos cada termo:
\int u^{-1/2}\,du = 2\,u^{1/2}, \qquad \int u^{-3/2}\,du = -2\,u^{-1/2}.
Logo
\int \frac{x^{3}}{(4x^{2}+9)^{3/2}}\,dx = \frac{1}{32}\Bigl[2\,u^{1/2} -9\bigl(-2\,u^{-1/2}\bigr)\Bigr]+C = \frac{\sqrt{u}}{16} + \frac{9}{16\,\sqrt{u}} + C.
De volta a x:
F(x)=\frac{\sqrt{4x^{2}+9}}{16} \;+\;\frac{9}{16\,\sqrt{4x^{2}+9}}.

Passo 5

Avaliaremos F(x) em x=\tfrac{3\sqrt{3}}{2} e em x=0:
Em x=\tfrac{3\sqrt{3}}{2}:
4x^{2}+9 = 36,\quad \sqrt{36}=6 \;\Longrightarrow\; F\!\Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr) =\frac{6}{16}+\frac{9}{16\cdot6} =\frac{6}{16}+\frac{9}{96} =\frac{36+9}{96} =\frac{45}{96} =\frac{15}{32}.
Em x=0:
4\cdot0^{2}+9=9,\quad \sqrt{9}=3 \;\Longrightarrow\; F(0)=\frac{3}{16}+\frac{9}{16\cdot3} =\frac{3}{16}+\frac{3}{16} =\frac{6}{16} =\frac{3}{8} =\frac{12}{32}.
A integral definida é
F\!\Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr)-F(0) =\frac{15}{32}-\frac{12}{32} =\frac{3}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{32}

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