Questão 3. (2.5 pontos)
Calcule a integral da função
sobre o domínio
localizado dentro do cone
entre as esferas
e
.
Calcule a integral da função
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral
onde
é a região dentro do cone
e entre as esferas
O conteúdo principal é a conversão para coordenadas esféricas, em que
,
,
, e o elemento de volume é
Passo 2
Para descobrir o intervalo de
imposto pelo cone, escrevemos
Como escolhemos a região acima do plano
, ficamos com
Passo 3
Agora usamos as esferas para achar os limites radiais
.
Esfera interna:
Esfera interna:
Esfera externa:
Logo, para cada
em
,
varia de
até
.
Passo 4
A integral em esféricas fica
Primeiro, integramos em
:
Então a integral vira
Passo 5
Para
fazemos
,
. Quando
,
; quando
,
.
Multiplicando por
obtemos