Questão 3. (2.5 pontos)
Calcule a integral da função f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} sobre o domínio V localizado dentro do cone z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}\right) entre as esferas x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\iiint_{V}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV
onde V é a região dentro do cone
z^{2}=3\,(x^{2}+y^{2})
e entre as esferas
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=9.
O conteúdo principal é a conversão para coordenadas esféricas, em que x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi, e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Para descobrir o intervalo de \varphi imposto pelo cone, escrevemos
z^{2}=3(x^{2}+y^{2}) \;\Longrightarrow\; \rho^{2}\cos^{2}\varphi=3\,\rho^{2}\sin^{2}\varphi \;\Longrightarrow\; \tan^{2}\varphi=\tfrac{1}{3} \;\Longrightarrow\; \varphi=\frac{\pi}{6}.
Como escolhemos a região acima do plano xy, ficamos com
0\le\varphi\le\frac{\pi}{6}, \quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Agora usamos as esferas para achar os limites radiais \rho.
Esfera interna:
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 \;\Longrightarrow\; \rho^{2}-2\rho\cos\varphi+1=1 \;\Longrightarrow\; \rho(\rho-2\cos\varphi)=0 \;\Longrightarrow\; \rho=2\cos\varphi.
Esfera externa:
x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=9 \;\Longrightarrow\; \rho^{2}-6\rho\cos\varphi+9=9 \;\Longrightarrow\; \rho(\rho-6\cos\varphi)=0 \;\Longrightarrow\; \rho=6\cos\varphi.
Logo, para cada \varphi em [0,\pi/6], \rho varia de 2\cos\varphi até 6\cos\varphi.

Passo 4

A integral em esféricas fica
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\pi/6} \int_{\rho=2\cos\varphi}^{6\cos\varphi} \frac{1}{\rho}\,\rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\! \int_{0}^{\pi/6}\!\! \int_{2\cos\varphi}^{6\cos\varphi} \rho\,\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro, integramos em \rho:
\int_{2\cos\varphi}^{6\cos\varphi}\rho\,d\rho =\frac{\bigl(6\cos\varphi\bigr)^{2}-\bigl(2\cos\varphi\bigr)^{2}}{2} =\frac{36\cos^{2}\varphi-4\cos^{2}\varphi}{2} =16\cos^{2}\varphi.
Então a integral vira
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/6}16\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =2\pi\;\int_{0}^{\pi/6}16\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =32\pi\;\int_{0}^{\pi/6}\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/6}\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi fazemos u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi/6, u=\tfrac{\sqrt3}{2}.
\int_{0}^{\pi/6}\cos^{2}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{\sqrt3/2}u^{2}(-du) =\int_{\sqrt3/2}^{1}u^{2}du =\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{\sqrt3/2}^{1} =\frac{1}{3}\Bigl(1-\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^{3}\Bigr) =\frac{8-3\sqrt3}{24}.
Multiplicando por 32\pi obtemos
32\pi\;\frac{8-3\sqrt3}{24} =\frac{32}{24}\,\pi\,(8-3\sqrt3) =\frac{4\pi}{3}\,(8-3\sqrt3).

Resposta

\boxed{ \frac{4\pi}{3}\,\bigl(8-3\sqrt3\bigr) }

Exercícios relacionados