Calcule:
\int \sqrt{x^{2}-16 x+73} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int \sqrt{x^{2}-16x+73}\,dx. Aqui o conteúdo é a integração de uma raiz quadrada de polinômio de segundo grau. Para resolver, vamos completar o quadrado e usar o caso padrão de \int \sqrt{u^{2}+a^{2}}\,du.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x^{2}-16x+73. Note que
x^{2}-16x+73 = (x^{2}-16x+64) +9 = (x-8)^{2} +9.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = x-8, \quad du = dx.
Então a integral original se transforma em
\int \sqrt{u^{2}+3^{2}}\,du.

Passo 4

Lembramos a fórmula padrão
\int \sqrt{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr| + C.

Passo 5

No nosso caso a=3. Portanto
\int \sqrt{u^{2}+9}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+9} + \frac{9}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}+9}\bigr| + C.

Passo 6

Voltando à variável x, temos u = x-8. Logo a antiderivada é
\frac{x-8}{2}\sqrt{(x-8)^{2}+9} + \frac{9}{2}\ln\bigl|\,x-8 + \sqrt{(x-8)^{2}+9}\bigr| + C.

Resposta

\frac{x-8}{2}\sqrt{(x-8)^{2}+9} + \frac{9}{2}\ln\bigl|\,x-8 + \sqrt{(x-8)^{2}+9}\bigr| + C.

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