Calcule:
\int \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}\;dx.
O conteúdo é integração de função com raiz de polinômio quadrático. Vamos precisar completar o quadrado dentro da raiz e usar uma substituição simples para reconhecer a forma padrão \int \tfrac{t}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}}\,dt.

Passo 2

Complete o quadrado no polinômio do denominador:
x^{2}+2x+3 = (x+1)^{2} + 2.

Passo 3

Faça a substituição
t = x+1, \qquad dt = dx.
Então o integrando vira
\frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^{2}+2}}\,dx = \frac{t}{\sqrt{t^{2}+2}}\,dt.

Passo 4

Reconheça a forma padrão
\int \frac{t}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}}\,dt = \sqrt{t^{2}+a^{2}} + C.
Aqui a^{2}=2, logo
\int \frac{t}{\sqrt{t^{2}+2}}\,dt = \sqrt{t^{2}+2} + C.

Resposta

\sqrt{(x+1)^{2}+2} + C.

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