Calcule.
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx,
que é um problema de técnicas de integração envolvendo a raiz de x. Vamos usar a substituição algébrica x=t^2, de modo a eliminar a raiz.

Passo 2

Fazendo x=t^2, temos t=\sqrt{x} e
dx = 2t\,dt.
Substituindo na integral:
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx = \int \frac{t}{1+t^2}\cdot 2t\,dt = \int \frac{2t^2}{1+t^2}\,dt.

Passo 3

Para integrar \displaystyle \frac{2t^2}{1+t^2}, dividimos polinômio:
\frac{2t^2}{1+t^2} =2\;\frac{t^2+1-1}{1+t^2} =2 - \frac{2}{1+t^2}.
Logo,
\int \frac{2t^2}{1+t^2}\,dt = \int 2\,dt \;-\;\int \frac{2}{1+t^2}\,dt = 2t - 2\arctan(t) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, onde t=\sqrt{x}, obtemos
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx = 2\sqrt{x} \;-\;2\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C.

Resposta

2\sqrt{x} - 2\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C.

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