Determine a série de Fourier da função dada em cada um dos seguintes casos, considerando o intervalo
f(x)= \begin{cases}1 & \text { se } 0 \leq x \leq \pi \\\\ -1 & \text { se }-\pi \leq x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier 2 \pi-periódica da função
f(x)= \begin{cases} 1, &0\le x\le\pi,\\\\ -1,&-\pi\le x<0. \end{cases}
O conteúdo é o cálculo de coeficientes de Fourier usando
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr)
com
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Observe que f é uma função ímpar, pois f(-x)=-f(x). Numa série de Fourier isso implica
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=0, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx=0\quad(\forall n).
Logo só restam os termos em seno.

Passo 3

Usamos a fórmula de b_n e a paridade: como f e \sin(nx) são ímpares, o produto é par e
b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral:
\int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx = \Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} = \frac{1-(-1)^n}{n}.
Logo
b_n = \frac{2}{\pi} \, \frac{1-(-1)^n}{n} = \begin{cases} \displaystyle \frac{4}{\pi \, n},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í]

Passo 5

Substituindo em
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)
ficamos apenas com os n ímpares. Portanto
f(x) =\frac{4}{\pi}\Bigl(\sin x+\frac{\sin3x}{3}+\frac{\sin5x}{5}+\cdots\Bigr).

Resposta

f(x) =\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1} =\frac{4}{\pi}\Bigl(\sin x+\tfrac{\sin3x}{3}+\tfrac{\sin5x}{5}+\cdots\Bigr).

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