Determine a série de Fourier da função dada em cada um dos seguintes casos, considerando o intervalo
f(x)= \begin{cases}1 & \text { se } 0 \leq x \leq \pi \\\\ 0 & \text { se }-\pi \leq x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) em \([-\pi,\pi]\) por \[f(x)= \begin{cases} 1,&0\le x\le\pi,\\\\ 0,&-\pi\le x<0. \end{cases}
Queremos sua expansão em série de Fourier real no intervalo ([-\pi,\pi]], dada por
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
com
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular o coeficiente a_{0}.
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\,dx =\frac{\pi}{\pi} =1.
Logo, o termo constante vale \tfrac{a_{0}}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Calcular os coeficientes a_{n} para n\ge1.
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\frac{\sin(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{\sin(n\pi)-0}{\pi n} =0.

Passo 4

Calcular os coeficientes b_{n} para n\ge1.
b_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi n}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Assim,
b_{n}= \begin{cases} \displaystyle\frac{2}{\pi n},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 5

Escrever a série reunindo os coeficientes não nulos. Como somente os b_{n} com n=2k+1 são não nulos,
f(x)\sim\frac12+\sum_{k=0}^{\infty}b_{2k+1}\sin\bigl((2k+1)x\bigr) =\frac12+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{\pi(2k+1)}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).

Resposta

\boxed{f(x)=\frac12+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\,\sin\bigl((2k+1)x\bigr).}

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