Determine a série de Fourier da função dada em cada um dos seguintes casos, considerando o intervalo
f(x)= \begin{cases}1 & \text { se } 0 \leq x \leq \pi \\\\ 0 & \text { se }-\pi \leq x<0\end{cases}
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) em \([-\pi,\pi]\) por
\[f(x)= \begin{cases} 1,&0\le x\le\pi,\\\\ 0,&-\pi\le x<0. \end{cases}
Queremos sua expansão em série de Fourier real no intervalo ([-\pi,\pi]], dada por f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
com a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.