Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva.
y=e x^{-x^{2}}\, para \(0 \leq x \leq 1)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva y = e\,x^{-x^{2}} para 0 \le x \le 1. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco de uma função y=f(x):
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

Precisamos achar y'. Como
y = e\,x^{-x^{2}} = e\exp\bigl(-x^{2}\ln x\bigr),
usamos a regra da cadeia e do logaritmo:
y' = e\exp\bigl(-x^{2}\ln x\bigr)\;\frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}\ln x\bigr) = e\,x^{-x^{2}}\bigl(-2x\ln x - x\bigr).

Passo 3

Substituindo y' na fórmula de comprimento:
L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \bigl(e\,x^{-x^{2}}(-2x\ln x - x)\bigr)^{2}}\,dx.

Resposta

L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \bigl(e\,x^{-x^{2}}(-2x\ln x - x)\bigr)^{2}}\,dx.

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