Estude as integrais a seguir quanto a sua convergência.
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo é análise de convergência de integrais no infinito e, em seguida, cálculo exato para confirmar e obter o valor.

Passo 2

Verificamos que não há singularidade em x=1, pois o denominador é \bigl(1^{2}+1\bigr)^{2}=4\neq0. O único ponto impróprio é o limite superior infinito. Para x grande,
\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\sim\frac{x}{x^{4}}=\frac{1}{x^{3}}.
Como a integral \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx converge (teste- p com p=3>1), pelo teste da comparação a nossa integral também converge.

Passo 3

Para calcular o valor exato, fazemos a substituição
u = x^{2}+1, \quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Então
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\,\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\Bigl(-u^{-1}\Bigr)+C = -\frac{1}{2\,u}+C = -\frac{1}{2\bigl(x^{2}+1\bigr)}+C.

Passo 4

Avaliamo-la de 1 a \infty:
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{2(x^{2}+1)}\Bigr]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\Bigl(0 - \bigl(-\tfrac{1}{2\cdot2}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{4}.

Resposta

A integral converge e vale
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{4}.

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