determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente e\text{(c)} condicionalmente?
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{\sqrt{n^{2}+3}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{\sqrt{n^{2}+3}}
e pede o raio de convergência, o intervalo de convergência, e ainda em que pontos a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente. Vamos usar o teste da raiz para o raio e depois analisar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Para achar o raio R, aplicamos o teste da raiz à sequência dos coeficientes
a_n = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+3}}.
Calculamos
\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_n\bigr|^{1/n} =\limsup_{n\to\infty}\bigl(n^{2}+3\bigr)^{-1/(2n)} =\lim_{n\to\infty}n^{-1/n}\,\bigl(1+3/n^2\bigr)^{-1/(2n)}=1.
Logo, pelo teste da raiz, o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.

Passo 3

No interior |x|<1 a série converge absolutamente, pois
\sum_{n=0}^\infty \biggl|\frac{(-1)^n x^n}{\sqrt{n^2+3}}\biggr| =\sum_{n=0}^\infty\frac{|x|^n}{\sqrt{n^2+3}}
e para |x|<1 essa é uma série do tipo geométrico com fator adicional 1/\sqrt{n^2+3}, que converge.

Passo 4

Em |x|=1 a série absoluta vira
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2+3}},
que se comporta como \sum1/n e, portanto, diverge. Logo não há convergência absoluta em |x|=1.

Passo 5

Vamos aos extremos:
  1. Para x=1, a série torna-se
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+3}}.
Os termos \tfrac1{\sqrt{n^2+3}} são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pela série alternada de Leibniz ela converge.
  1. Para x=-1, a série torna-se
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(-1)^n}{\sqrt{n^2+3}} =\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2+3}},
que diverge como \sum1/n. Portanto não há convergência (nem condicional) em x=-1.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: -1 < x \le 1.
(b) Converge absolutamente para |x|<1.
(c) Converge condicionalmente em x=1.

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