Calcule \int \frac{x}{1+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{1+4x^{2}}\,dx.
Este é um caso clássico de integração de função racional em que o numerador é proporcional à derivada do denominador, então vamos usar o método de substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 4x^{2},
então diferenciando ambos os lados temos
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{8}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{x}{1+4x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(\frac{1}{8}\,du\Bigr) = \frac{1}{8}\,\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{8}\,\ln\lvert u\rvert + C.

Passo 4

Agora voltamos para a variável x. Como u = 1+4x^{2}>0 para todo x, podemos tirar o valor absoluto:
\frac{1}{8}\,\ln\lvert u\rvert + C = \frac{1}{8}\,\ln\bigl(1+4x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x}{1+4x^{2}}\,dx = \frac{1}{8}\,\ln\bigl(1+4x^{2}\bigr) + C.

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