(2,0) Determine a distância mais curta entre o ponto (2,-2,3) e o plano 6 x+4 y-3 z=0

Passo 1

O enunciado dá um ponto P=(2,-2,3) e um plano \pi de equação 6x+4y-3z=0. Queremos a distância mínima de P até \pi. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar a fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

A distância d de um ponto (x_0,y_0,z_0) até o plano Ax+By+Cz+D=0 é dada por
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
Esta fórmula vem do módulo da projeção ortogonal do vetor posição de P sobre o vetor normal (A,B,C).

Passo 3

No nosso caso, identificamos
A=6,\quad B=4,\quad C=-3,\quad D=0,
e o ponto P tem x_0=2, y_0=-2, z_0=3. Substituindo na fórmula:

Passo 4

Calculamos o numerador:
A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 6\cdot2 + 4\cdot(-2) + (-3)\cdot3 + 0 = 12 - 8 - 9 = -5,
logo \bigl|-5\bigr| = 5.

Passo 5

O denominador é
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}.
Portanto,
d = \frac{5}{\sqrt{61}}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{\sqrt{61}}

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