(2,0) Um carro A está viajando para o norte na auto-estrada 116 , e um carro B está viajando para oeste na auto-estrada 242. Os dois carros se aproximam da intersecçāo dessas auto-estradas. Num certo momento, o carro A está a 0,3 \mathrm{~km} da intersecção viajando a 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, ao passo que o carro B está a 0,4 \mathrm{~km} da intersecçāo viajando a 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual a taxa de variação da distância entre os carros nesse instante?

Passo 1

Temos dois carros que se aproximam de uma intersecção: o carro A vem de sul para norte e o carro B vem de leste para oeste. No instante que nos interessa, a distância do carro A até a intersecção é 0,3,km com velocidade de 90,km/h (aproximando-se, então a distância diminui) e a distância do carro B é 0,4,km com velocidade de 80,km/h (também diminuindo). Queremos achar a taxa de variação da distância c entre eles nesse instante. O conteúdo é de razões de variação relacionadas (related rates) usando o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Seja a(t) a distância do carro A à intersecção e b(t) a distância do carro B à mesma intersecção. A distância entre os carros é
c(t)^2 = a(t)^2 + b(t)^2.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
2\,c\,\frac{dc}{dt} \;=\; 2\,a\,\frac{da}{dt} \;+\; 2\,b\,\frac{db}{dt}.
Simplificando,
\frac{dc}{dt} = \frac{a\,\frac{da}{dt} + b\,\frac{db}{dt}}{c}.

Passo 4

No instante dado temos
a=0,3\,\mathrm{km},
b=0,4\,\mathrm{km},
\frac{da}{dt}=-90\,\mathrm{km/h},
\frac{db}{dt}=-80\,\mathrm{km/h}.
Além disso
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(0,3)^2 + (0,4)^2} = 0,5\,\mathrm{km}.
O numerador fica
a\frac{da}{dt} + b\frac{db}{dt} = 0,3\cdot(-90) + 0,4\cdot(-80) = -27 -32 = -59.

Passo 5

Logo
\frac{dc}{dt} = \frac{-59}{0,5} = -118\\ \mathrm{km/h}.
O sinal negativo indica que a distância entre os carros está diminuindo.

Resposta

\displaystyle \frac{dc}{dt} = -118\\ \mathrm{km/h}.

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