Um carro A está viajando para o norte na auto-estrada 116 , e um carro B está viajando para oeste na auto-estrada 242. Os dois carros se aproximam da intersecçāo dessas auto-estradas. Num certo momento, o carro A está a
da intersecção viajando a
, ao passo que o carro B está a
da intersecçāo viajando a
. Qual a taxa de variação da distância entre os carros nesse instante?
Passo 1
Temos dois carros que se aproximam de uma intersecção: o carro A vem de sul para norte e o carro B vem de leste para oeste. No instante que nos interessa, a distância do carro A até a intersecção é
,km com velocidade de
,km/h (aproximando-se, então a distância diminui) e a distância do carro B é
,km com velocidade de
,km/h (também diminuindo). Queremos achar a taxa de variação da distância
entre eles nesse instante. O conteúdo é de razões de variação relacionadas (related rates) usando o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Seja
a distância do carro A à intersecção e
a distância do carro B à mesma intersecção. A distância entre os carros é
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
, obtemos
Simplificando,
Passo 4
No instante dado temos
Além disso
O numerador fica
Passo 5
Logo
O sinal negativo indica que a distância entre os carros está diminuindo.