Calcule.
\int \frac{3 x}{5+6 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x}{5+6x^{2}}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, pois o numerador é proporcional à derivada do denominador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 5 + 6x^{2}.
Então, derivando ambos os lados em relação a x,
du = 12x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{12}.

Passo 3

Reescrevendo o numerador 3x\,dx em termos de du, temos
3x\,dx = 3\cdot\frac{du}{12} = \frac{du}{4}.
Além disso, o denominador 5+6x^{2} vira simplesmente u. Logo a integral fica
\int \frac{3x}{5+6x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{4}\,\frac{du}{u}.

Passo 4

Sabendo que
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C,
temos
\int \frac{1}{4}\,\frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição u = 5 + 6x^{2}, obtemos
\int \frac{3x}{5+6x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\ln\bigl|5+6x^{2}\bigr| + C.

Resposta

\frac{1}{4}\ln\bigl|5+6x^{2}\bigr| + C.

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