Calcule.
\int x e{-x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int x e^{-x^2} \,dx
Aqui vamos usar o método de substituição, pois dentro de e^{-x^2} aparece a derivada de -x^2 multiplicando.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = -x^2.
Diferenciando,
du = -2x\,dx
e isolando x\,dx vem
x\,dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Substituindo em \int x e^{-x^2}dx, obtemos
\int x e^{-x^2} \,dx = \int e^{u}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) = -\tfrac12 \int e^{u}\,du.

Passo 4

A integral de e^{u} é e^{u}. Portanto
-\,\tfrac12 \int e^{u}\,du = -\tfrac12\,e^{u} + C.

Passo 5

Retornando à variável x com u=-x^2, fica
-\,\tfrac12\,e^{u} + C = -\tfrac12\,e^{-x^2} + C.

Resposta

-\,\tfrac12\,e^{-x^2} + C

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