Calcule.
\int x \sin x d x

Passo 1

Aqui queremos calcular a integral indefinida \int x \sin x \, dx. Perceba que se trata do produto entre x e \sin x, então a técnica mais direta é a integração por partes, cuja fórmula é
\int u \, dv = u\,v - \int v \, du.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = \sin x \, dx.
Dessa forma temos
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int \sin x \, dx = -\cos x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes fica
\int x \sin x \, dx = u\,v - \int v \, du = x \cdot (-\cos x) - \int \bigl(-\cos x\bigr)\,dx = -x\cos x + \int \cos x \, dx.

Passo 4

Como \int \cos x \, dx = \sin x, concluímos que
\int x \sin x \, dx = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int x \sin x \, dx = -x\cos x + \sin x + C.

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