Calcule:
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = \int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo envolve integração por substituição, pois a derivada de x^{2}+1 é proporcional ao numerador x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+1.
Em seguida, derivamos ambos os lados em relação a x:
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
I = \int \frac{x}{u^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\Bigl(x\,dx\Bigr) = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora calculamos a integral de u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
Portanto,
\frac{1}{2}\,\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\,\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = -\frac{1}{2u} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, relembramos que u = x^{2}+1. Logo,
I = -\frac{1}{2\,(x^{2}+1)} + C.

Resposta

-\frac{1}{2\,(x^{2}+1)} + C

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