Calcule:
\int \frac{x}{(x-3)^{2} \cdot(x-4)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{(x-3)^{2}\,(x-4)}\,dx.
O conteúdo envolvido é a decomposição em frações parciais de funções racionais. Vamos usar o método de frações parciais para reescrever o integrando como soma de termos mais simples.

Passo 2

Propondo a decomposição
\frac{x}{(x-3)^{2}\,(x-4)} =\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^{2}}.
Multiplicamos ambos os lados por (x-3)^{2}(x-4) e obtemos a identidade
x = A\,(x-3)^{2} + B\,(x-3)(x-4) + C\,(x-4).

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes em x^{2},x,1 surge o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -6A -7B + C = 1,\\\\ 9A +12B -4C = 0. \end{cases}
Dessa forma encontramos
A=4,\quad B=-4,\quad C=-3.

Passo 4

Reescrevendo a integral com esses valores:
\int \frac{x}{(x-3)^{2}(x-4)}\,dx =\int\Bigl(\frac{4}{x-4}-\frac{4}{x-3}-\frac{3}{(x-3)^{2}}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo usando \displaystyle\int\frac{du}{u}=\ln|u| e \displaystyle\int u^{-2}du=-u^{-1}:
\int \frac{4}{x-4}\,dx =4\ln|x-4|,\quad \int -\frac{4}{x-3}\,dx =-4\ln|x-3|,\quad \int -\frac{3}{(x-3)^{2}}\,dx =3\,(x-3)^{-1}.

Resposta

4\ln\bigl|x-4\bigr|-4\ln\bigl|x-3\bigr|+\frac{3}{x-3}+C.

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