Calcule: \int \frac{x}{(x-3)^{2} \cdot(x-4)} d x Passo 1O enunciado pede para calcular a integral \int \frac{x}{(x-3)^{2}\,(x-4)}\,dx. O conteúdo envolvido é a decomposição em frações parciais de funções racionais. Vamos usar o método de frações parciais para reescrever o integrando como soma de termos mais simples. Passo 2Propondo a decomposição \frac{x}{(x-3)^{2}\,(x-4)} =\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^{2}}. Multiplicamos ambos os lados por (x-3)^{2}(x-4) e obtemos a identidade x = A\,(x-3)^{2} + B\,(x-3)(x-4) + C\,(x-4). Passo 3Expandindo e igualando coeficientes em x^{2},x,1 surge o sistema \begin{cases} A + B = 0,\\\\ -6A -7B + C = 1,\\\\ 9A +12B -4C = 0. \end{cases} Dessa forma encontramos A=4,\quad B=-4,\quad C=-3. Passo 4Reescrevendo a integral com esses valores: \int \frac{x}{(x-3)^{2}(x-4)}\,dx =\int\Bigl(\frac{4}{x-4}-\frac{4}{x-3}-\frac{3}{(x-3)^{2}}\Bigr)\,dx. Agora integramos termo a termo usando \displaystyle\int\frac{du}{u}=\ln|u| e \displaystyle\int u^{-2}du=-u^{-1}: \int \frac{4}{x-4}\,dx =4\ln|x-4|,\quad \int -\frac{4}{x-3}\,dx =-4\ln|x-3|,\quad \int -\frac{3}{(x-3)^{2}}\,dx =3\,(x-3)^{-1}. Resposta 4\ln\bigl|x-4\bigr|-4\ln\bigl|x-3\bigr|+\frac{3}{x-3}+C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule: \int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}} d x Calcule: \int x^{2} \cdot \ln (x) d x Uma luneta inclinada de 48^{\circ} 22^{\prime} 4^{\prime \prime} com relação ao zênite, tem as leituras dos fios superior e inferior de uma régua. Sendo estas 2382 e 2193 mm, qual a distância horizontal, em metros, entre o equipamento e a estação onde se encontra a régua? Utilize duas casas decimais. Resposta: \square x Na leitura de uma régua em uma estação para levantamento, as leituras dos fios superior e inferior foram, respectivamente, 3094 e 2742 mm . Sabendo que a luneta estava em nível, qual a distância entre o equipamento e a estação, em metros? Utilize uma casa decimal. Resposta: \square