Calcule:
\int x^{2} \cdot \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\,\ln(x)\,dx.
O conteúdo é integração por partes, cujo fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Para aplicar, vamos escolher funções u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x), \quad dv = x^{2}\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\,\ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \ln(x)\,\frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Dentro da integral restante simplifica-se a potência:
\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.
Substituindo de volta, obtemos
\int x^{2}\,\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.

Resposta

\int x^{2}\,\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.

Exercícios relacionados