Calcule:
\int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}} \, dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para simplificar integrais em que aparece uma raiz de uma função polinomial no denominador.

Passo 2

Observamos que a parte dentro da raiz é x^3 - 4. Vamos fazer a substituição
u = x^3 - 4.
Diferenciando, obtemos
du = 3x^2 \, dx \quad\Longrightarrow\quad x^2 \, dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}} \, dx = 5 \int \frac{x^2\,dx}{u^{1/2}} = 5 \int \frac{1}{u^{1/2}}\Bigl(\frac{1}{3}\,du\Bigr) = \frac{5}{3} \int u^{-1/2} \, du.

Passo 4

Agora basta integrar em u. Lembrando que
\int u^{-1/2} \, du = \frac{u^{1/2}}{\tfrac12} = 2\,u^{1/2},
logo
\frac{5}{3} \int u^{-1/2} \, du = \frac{5}{3} \cdot 2\,u^{1/2} + C = \frac{10}{3}\,u^{1/2} + C.

Passo 5

Retornando à variável x pela relação u = x^3 - 4, a primitiva fica
\frac{10}{3}\sqrt{x^3 - 4} + C.

Resposta

\frac{10}{3}\sqrt{x^3 - 4} + C

Exercícios relacionados