Calcule.
\int_{0}^{4} \frac{1}{x^{2}+x-6} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int_{0}^{4}\frac{1}{x^{2}+x-6}\,dx
que é uma integral imprópria porque o denominador se anula em x=2, que está dentro do intervalo de integração. Para decidir convergência, vamos separar em
\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}+x-6}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{2}^{4}\frac{1}{x^{2}+x-6}\,dx
e examinar cada parte como limite.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3).
Fazendo frações parciais, procuramos A e B tais que
\frac{1}{(x-2)(x+3)} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3} \quad\Longrightarrow\quad 1 = A(x+3)+B(x-2).
Tomando x=2 1=5A\implies A=\tfrac15, e x=-3 1=-5B\implies B=-\tfrac15.

Passo 3

Portanto
\frac{1}{x^{2}+x-6} =\frac{1}{5}\,\frac{1}{x-2} -\frac{1}{5}\,\frac{1}{x+3}.
Uma antiderivada é
F(x) =\frac{1}{5}\ln\bigl|x-2\bigr| -\frac{1}{5}\ln\bigl|x+3\bigr| =\frac{1}{5}\ln\biggl|\frac{x-2}{x+3}\biggr|.

Passo 4

Analisamos agora cada parte como limite:
1. \displaystyle\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}+x-6}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl[F(2-\varepsilon)-F(0)\bigr]. Para x=2-\varepsilon temos \bigl|\tfrac{x-2}{x+3}\bigr|=\tfrac{\varepsilon}{5-\varepsilon}, logo
F(2-\varepsilon) =\frac{1}{5}\ln\!\bigl(\tfrac{\varepsilon}{5-\varepsilon}\bigr).
Em x=0,
F(0) =\frac{1}{5}\ln\!\bigl|\tfrac{-2}{3}\bigr| =\frac{1}{5}\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr).
Assim
\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}+x-6}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+} \frac{1}{5}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{\varepsilon}{5-\varepsilon}\bigr) -\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr] =-\infty.

Passo 5

2. \displaystyle\int_{2}^{4}\frac{1}{x^{2}+x-6}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl[F(4)-F(2+\varepsilon)\bigr]. Para x=2+\varepsilon tem-se \bigl|\tfrac{x-2}{x+3}\bigr|=\tfrac{\varepsilon}{5+\varepsilon}, e
F(4) =\frac{1}{5}\ln\!\bigl(\tfrac{4-2}{4+3}\bigr) =\frac{1}{5}\ln\!\bigl(\tfrac{2}{7}\bigr), \quad F(2+\varepsilon) =\frac{1}{5}\ln\!\bigl(\tfrac{\varepsilon}{5+\varepsilon}\bigr).
Logo
\int_{2}^{4}\frac{1}{x^{2}+x-6}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+} \frac{1}{5}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{2}{7}\bigr) -\ln\!\bigl(\tfrac{\varepsilon}{5+\varepsilon}\bigr)\Bigr] =+\infty.

Passo 6

Como a primeira parte diverge para -\infty e a segunda para +\infty, não há cancelamento que gere um valor finito. Portanto a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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