Resolva os seguintes limites usando o Teorema de L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow e} \frac{\ln (x)-1}{x-e}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to e}\frac{\ln(x)-1}{x-e}
usando o Teorema de L’Hôpital. Aqui enfrentamos uma indeterminação do tipo 0/0, então vamos aplicar o critério de derivadas.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação: quando x\to e temos
\ln(x)-1\to \ln(e)-1 = 1-1 = 0 \quad\text{e}\quad x-e\to e-e = 0,
portanto é um caso clássico para usar L’Hôpital.

Passo 3

Pelo Teorema de L’Hôpital, se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o segundo limite exista. Aqui definimos
f(x)=\ln(x)-1, \quad g(x)=x-e.
Calculamos as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}[\ln(x)-1]=\frac{1}{x}, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}[x-e]=1.

Passo 4

Substituindo no limite pelos quocientes das derivadas, obtemos
\lim_{x\to e}\frac{\ln(x)-1}{x-e} =\lim_{x\to e}\frac{1/x}{1} =\frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}

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