Resolva os seguintes limites usando o Teorema de L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x} usando o Teorema de L’Hôpital. O conteúdo aqui é limites indeterminados do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, primeiro verificaremos a forma indeterminada e depois aplicaremos a regra, diferenciando numerador e denominador.

Passo 2

Substituindo x=0, obtemos numerador e^{0}-e^{0}=1-1=0 e denominador 0, caracterizando a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Pelo Teorema de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
numerador’: \frac{d}{dx}(e^{x}-e^{-x})=e^{x}+e^{-x}
denominador’: \frac{d}{dx}(x)=1

Passo 4

O limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{1}
que avaliado em x=0 fica e^{0}+e^{0}=1+1=2.

Resposta

2

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