Encontre uma função
tal que
represente a área de um cone circular reto com base fechada se
é o raio da base e
a altura do cone.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função
tal que
represente a área de um cone circular reto com base fechada, onde
é o raio da base e
é a altura do cone.
Informações dadas e o que devemos fornecer:
Informações dadas e o que devemos fornecer:
-
= raio da base (variável). -
= altura do cone (variável). - O cone é “circular reto” e tem a base fechada, ou seja, queremos a área total (área lateral + área da base).
A partir dessas informações devemos obter uma expressão algébrica deque dê essa área total.
Passo 2
Área da base: a base do cone é um círculo de raio
. A fórmula clássica da área de um círculo é
onde
é o raio do círculo e
é a constante aproximadamente igual a
. Substituindo
obtemos
Explicação curta: essa fórmula vem da definição de área do círculo; aqui usamos apenas que a base é um círculo de raio
.
Passo 3
Área lateral: a superfície lateral de um cone reto, quando “desenrolada”, é um setor circular cujo raio é a geratriz (altura inclinada) do cone — chamada de
— e cujo comprimento de arco é a circunferência da base
. A área de um setor circular de raio
e arco de comprimento
é
. Aplicando isso com
obtemos a fórmula padrão
Aqui
é o raio da base e
é a geratriz (slant height) do cone. Substituindo
teremos
.
Passo 4
Determinar a geratriz
: no cone reto a geratriz, o raio da base
e a altura
formam um triângulo retângulo (veja a seção vertical do cone). Pelo Teorema de Pitágoras, a geratriz
satisfaz
Portanto
Explicação curta e intuitiva: a geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos
(raio) e
(altura).
Passo 5
Somando as áreas (base + lateral) obtemos a área total do cone com base fechada:
Substituindo
resulta
Podemos também fatorar
para uma forma mais compacta:
Essa é a função pedida:
que dá a área total do cone em função do raio
e da altura
.
Passo 6
Domínio e observações práticas: geralmente tomamos
e
(raio e altura não-negativos); para
o cone degenera e a área é zero. Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
e
Força! Essa fórmula dá direto a área total que você precisa na prova — decore ou entenda os passos (área da base + fórmula da lateral com a geratriz) que você consegue montar isso rápido.