Encontre uma função f tal que f(x, y) represente a área de um cone circular reto com base fechada se x é o raio da base e y a altura do cone.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função f tal que f(x,y) represente a área de um cone circular reto com base fechada, onde x é o raio da base e y é a altura do cone.
Informações dadas e o que devemos fornecer:
  • x = raio da base (variável).
  • y = altura do cone (variável).
  • O cone é “circular reto” e tem a base fechada, ou seja, queremos a área total (área lateral + área da base).
    A partir dessas informações devemos obter uma expressão algébrica de f(x,y) que dê essa área total.

Passo 2

Área da base: a base do cone é um círculo de raio x. A fórmula clássica da área de um círculo é
A_{\text{base}}=\pi r^{2},
onde r é o raio do círculo e \pi é a constante aproximadamente igual a 3{,}14159. Substituindo r=x obtemos
A_{\text{base}}=\pi x^{2}.
Explicação curta: essa fórmula vem da definição de área do círculo; aqui usamos apenas que a base é um círculo de raio x.

Passo 3

Área lateral: a superfície lateral de um cone reto, quando “desenrolada”, é um setor circular cujo raio é a geratriz (altura inclinada) do cone — chamada de s — e cujo comprimento de arco é a circunferência da base 2\pi r. A área de um setor circular de raio s e arco de comprimento L é \tfrac{1}{2}sL. Aplicando isso com L=2\pi r obtemos a fórmula padrão
A_{\text{lateral}}=\pi r s.
Aqui r é o raio da base e s é a geratriz (slant height) do cone. Substituindo r=x teremos A_{\text{lateral}}=\pi x s.

Passo 4

Determinar a geratriz s: no cone reto a geratriz, o raio da base x e a altura y formam um triângulo retângulo (veja a seção vertical do cone). Pelo Teorema de Pitágoras, a geratriz s satisfaz
s^{2}=x^{2}+y^{2}.
Portanto
s=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicação curta e intuitiva: a geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos x (raio) e y (altura).

Passo 5

Somando as áreas (base + lateral) obtemos a área total do cone com base fechada:
A_{\text{total}}=A_{\text{base}}+A_{\text{lateral}}=\pi x^{2}+\pi x s.
Substituindo s=\sqrt{x^{2}+y^{2}} resulta
A_{\text{total}}=\pi x^{2}+\pi x\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Podemos também fatorar \pi x para uma forma mais compacta:
A_{\text{total}}=\pi x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr).
Essa é a função pedida: f(x,y) que dá a área total do cone em função do raio x e da altura y.

Passo 6

Domínio e observações práticas: geralmente tomamos x\ge 0 e y\ge 0 (raio e altura não-negativos); para x=0 o cone degenera e a área é zero. Exemplo numérico rápido para fixar: se x=2 e y=3, então
s=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13},
e
A_{\text{total}}=\pi\cdot 2^{2}+\pi\cdot 2\sqrt{13}=4\pi+2\pi\sqrt{13}.
Força! Essa fórmula dá direto a área total que você precisa na prova — decore ou entenda os passos (área da base + fórmula da lateral com a geratriz) que você consegue montar isso rápido.

Resposta

f(x,y)=\pi x^{2}+\pi x\sqrt{x^{2}+y^{2}}

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