Calcule \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x usando Simpson com m=4 e estime o erro.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{1}^{3}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
usando a regra composta de Simpson com m=4 subintervalos e em seguida estimar o erro.
Conteúdo necessário: partição do intervalo, fórmula da regra composta de Simpson e cálculo do termo de erro via a derivada de quarta ordem de f(x)=1/x.

Passo 2

Dividimos [1,3] em m=4 subintervalos de comprimento
h=\frac{3-1}{4}=0{,}5.
Os nós são
x_i=1+i h,\quad i=0,1,2,3,4,
isto é x_0=1, x_1=1{,}5, x_2=2, x_3=2{,}5, x_4=3.

Passo 3

Calculamos f(x_i)=1/x_i:
f(x_0)=1,\quad f(x_1)=\tfrac{2}{3},\quad f(x_2)=0{,}5,\quad f(x_3)=0{,}4,\quad f(x_4)=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula composta de Simpson:
\int_{1}^{3}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\Bigr).
Substituindo os valores:
\frac{0{,}5}{3}\bigl(1 +4\cdot\tfrac{2}{3} +2\cdot0{,}5 +4\cdot0{,}4 +\tfrac{1}{3}\bigr) =\frac{0{,}5}{3}\cdot6{,}6=1{,}1.

Passo 5

Para o erro usamos o fato de que
f^{(4)}(x)=24\,x^{-5},
logo \max_{[1,3]}|f^{(4)}(x)|=24. O termo de erro da regra composta de Simpson satisfaz
|E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^4\max_{[1,3]}|f^{(4)}(x)| =\frac{2}{180}\,(0{,}5)^4\cdot24 =\frac{3}{180}\approx0{,}0167.

Resposta

A aproximação pela regra de Simpson com m=4 é
\int_{1}^{3}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\approx1{,}1,
e o erro está estimado por
|E_S|\le0{,}0167.

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