Calcule \int_{0}^{\pi} \sin x d x usando Simpson com m=6 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx
usando a regra composta de Simpson com m=6 subintervalos. O conteúdo aqui é a aplicação da regra de Simpson composta, que exige m par, calcula o passo h=(b-a)/m e faz uma soma ponderada dos valores de f(x_i).

Passo 2

Calculamos o comprimento de cada subintervalo:
h = \frac{b-a}{m} = \frac{\pi - 0}{6} = \frac{\pi}{6}.
Em seguida, definimos os pontos
x_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,6.

Passo 3

Avaliamo-os f(x_i)=\sin(x_i) em cada nó:
\begin{aligned} x_0 &= 0, &\sin(x_0)&=0,\\\ x_1 &= \tfrac{\pi}{6}, &\sin(x_1)&=\tfrac12,\\\ x_2 &= \tfrac{\pi}{3}, &\sin(x_2)&=\tfrac{\sqrt3}{2},\\\ x_3 &= \tfrac{\pi}{2}, &\sin(x_3)&=1,\\\ x_4 &= \tfrac{2\pi}{3},&\sin(x_4)&=\tfrac{\sqrt3}{2},\\\ x_5 &= \tfrac{5\pi}{6},&\sin(x_5)&=\tfrac12,\\\ x_6 &= \pi, &\sin(x_6)&=0. \end{aligned}

Passo 4

A regra composta de Simpson diz:
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0) +4\bigl(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)\bigr) +2\bigl(f(x_2)+f(x_4)\bigr) +f(x_6)\Bigr].
Substituindo os valores encontrados:
f(x_0)+f(x_6)=0+0=0,
4\bigl(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)\bigr) =4\Bigl(\tfrac12+1+\tfrac12\Bigr)=4\cdot2=8,
2\bigl(f(x_2)+f(x_4)\bigr) =2\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)=2\cdot\sqrt3=2\sqrt3.

Passo 5

Agora somamos e multiplicamos por h/3:
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx \approx \frac{\pi/6}{3}\,\bigl(0 + 8 + 2\sqrt3\bigr) =\frac{\pi}{18}\,(8+2\sqrt3) =\frac{\pi}{9}\,(4+\sqrt3).
Se quisermos ver quão perto isso fica do valor exato 2, note que
\frac{\pi}{9}(4+\sqrt3)\approx 2{,}00.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx \approx \frac{\pi}{9}\,(4+\sqrt3)\approx 2{,}00.

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