Compare os resultados de Simpson ( \mathrm{m}=4 ) e Gaussiana (2 pontos) para \int_{0}^{1} x^{4} d x.

Passo 1

O problema pede para aproximar
\int_{0}^{1} x^{4}\,dx
por duas regras numéricas: a regra composta de Simpson com m=4 subintervalos e a quadratura de Gauss com 2 pontos. Vamos usar a definição do método de Simpson (exato para polinômios de grau até 3, mas aqui aplicado) e a fórmula de Gauss–Legendre de ordem 2 (exata até grau 3 também).

Passo 2

Para a regra composta de Simpson, dividimos [0,1] em m=4 subintervalos de largura
h = \frac{1-0}{4} = 0,25.
Os nós são x_i = 0 + i\,h, i=0,\dots,4. Então
x_0=0,\;x_1=0,25,\;x_2=0,50,\;x_3=0,75,\;x_4=1
e
f(x_i)=x_i^4\implies f(x_0)=0,\; f(x_1)=(0,25)^4=0,00390625,\; f(x_2)=(0,50)^4=0,0625,\; f(x_3)=(0,75)^4=0,31640625,\; f(x_4)=1.
A fórmula de Simpson composta é
S_4 = \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\bigr).
Substituindo,
S_4 = \frac{0,25}{3}\bigl(0 +4\cdot0,00390625 +2\cdot0,0625 +4\cdot0,31640625 +1\bigr) =0,0833333\times2,40625 \approx0,2005208.

Passo 3

Na quadratura de Gauss com 2 pontos em [-1,1], usamos nós \pm t com t=1/\sqrt{3} e pesos w_1=w_2=1. Fazemos a mudança de variável
x = \frac{1+ t}{2},\quad dx = \frac{dt}{2},
de modo que
\int_{0}^{1}x^{4}dx = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}f\!\Bigl(\frac{1+t_i}{2}\Bigr)\,w_i.
Aqui t_1=-\tfrac{1}{\sqrt3}, t_2=+\tfrac{1}{\sqrt3}, logo
x_{1,2} = \frac{1\mp \tfrac{1}{\sqrt3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)+f(x_2) = \Bigl(\frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}{2}\Bigr)^4 +\Bigl(\frac{1+\tfrac1{\sqrt3}}{2}\Bigr)^4.
Usando a expansão binomial para (1\pm a)^4 e somando, obtém-se
f(x_1)+f(x_2) = \frac{1}{8}\Bigl(1 +6\cdot\frac13 +\frac{1}{9}\Bigr) =0,3888889,
então
G_2 = \frac12\,(f(x_1)+f(x_2)) \approx0,1944444.

Passo 4

O valor exato da integral é
\int_{0}^{1}x^{4}dx = \frac{1}{5} = 0,2.
Comparando as aproximações:
  • Simpson m=4: S_4\approx0,2005208 (erro \approx5{,}2\times10^{-4}).
  • Gauss 2 pontos: G_2\approx0,1944444 (erro \approx5{,}6\times10^{-3}).
Portanto, para este caso, a regra composta de Simpson com m=4 fornece maior precisão do que a quadratura de Gauss com 2 pontos.

Resposta

Simpson m=4: 0,2005208
Gauss 2 pontos: 0,1944444

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