Calcule \int_{0}^{2} x^{3} d x usando quadratura gaussiana com 2 pontos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx
usando quadratura gaussiana de 2 pontos. O conteúdo aqui envolve transformar a integral numérica em [0,2] para o intervalo canônico [-1,1] e depois aplicar a fórmula de Gauss com 2 pontos, cujos nós e pesos são conhecidos.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
x = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}\,t,
onde a=0, b=2. Assim
x = 1 + t, \qquad dx = \frac{b-a}{2}\,dt = 1\cdot dt.
Logo
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx = \int_{-1}^{1} (1 + t)^{3}\,dt.

Passo 3

Na quadratura gaussiana de 2 pontos em [-1,1] temos os nós
t_{1} = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad t_{2} = +\frac{1}{\sqrt{3}},
e os pesos
w_{1} = w_{2} = 1.

Passo 4

Substituindo os nós no intervalo original temos
x_{i} = 1 + t_{i},
isto é
x_{1} = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}.
Como \tfrac{b-a}{2}=1, os pesos transformados continuam sendo 1.

Passo 5

Aproximamos
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx \approx \sum_{i=1}^{2} w_{i}\,f(x_{i}) = f\bigl(1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) + f\bigl(1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr),
onde f(x)=x^{3}.

Passo 6

Calculamos
\bigl(1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^{3} + \bigl(1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^{3} = 2\bigl(1 + 3\cdot\tfrac{1}{3}\bigr) = 2\cdot 2 =4.
Curiosamente, como x^{3} é polinômio de grau \le3, a quadratura de 2 pontos é exata.

Resposta

4

Exercícios relacionados