Compare os resultados de Simpson (
) e Gaussiana (2 pontos) para
.
Passo 1
O problema pede para aproximar
por duas regras numéricas: a regra composta de Simpson com
subintervalos e a quadratura de Gauss com 2 pontos. Vamos usar a definição do método de Simpson (exato para polinômios de grau até 3, mas aqui aplicado) e a fórmula de Gauss–Legendre de ordem 2 (exata até grau 3 também).
Passo 2
Para a regra composta de Simpson, dividimos
em
subintervalos de largura
Os nós são
,
. Então
e
A fórmula de Simpson composta é
Substituindo,
Passo 3
Na quadratura de Gauss com 2 pontos em
, usamos nós
com
e pesos
. Fazemos a mudança de variável
de modo que
Aqui
,
, logo
Usando a expansão binomial para
e somando, obtém-se
então
Passo 4
O valor exato da integral é
Comparando as aproximações:
- Simpson
: (erro ). - Gauss 2 pontos:
(erro ).
Portanto, para este caso, a regra composta de Simpson com
fornece maior precisão do que a quadratura de Gauss com 2 pontos.
Resposta
Simpson
:
Gauss 2 pontos:
Gauss 2 pontos: