Calcule \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}}}\,dx.
Aqui vamos usar uma substituição que torne a soma x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} num polinômio simples em outra variável.

Passo 2

Escolhemos
t = x^{\frac{1}{6}}, \quad x = t^6, \quad dx = 6\,t^5\,dt.
Além disso
x^{\frac{1}{3}} = (t^6)^{\frac{1}{3}} = t^2, \quad x^{\frac{1}{2}} = (t^6)^{\frac{1}{2}} = t^3.
Logo o integrando vira
\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}}}\,dx = \frac{1}{t^2 + t^3}\;6\,t^5\,dt = 6\,\frac{t^5}{t^2(1+t)}\,dt = 6\,\frac{t^3}{1+t}\,dt.

Passo 3

Para facilitar, dividimos polinomialmente
\frac{t^3}{1+t} = t^2 - t + 1 - \frac{1}{1+t}.
Multiplicando por 6 fica
6\,\frac{t^3}{1+t} = 6t^2 - 6t + 6 - \frac{6}{1+t}.

Passo 4

Agora integramos cada termo:
\int\bigl(6t^2 - 6t + 6 - \tfrac{6}{1+t}\bigr)\,dt = 6\cdot\tfrac{t^3}{3} - 6\cdot\tfrac{t^2}{2} + 6t - 6\ln\lvert1+t\rvert + C = 2t^3 - 3t^2 + 6t - 6\ln\lvert1+t\rvert + C.

Passo 5

Volta à variável x:
t = x^{\frac{1}{6}}, \quad t^2 = x^{\frac{1}{3}}, \quad t^3 = x^{\frac{1}{2}}.
Substituindo, a primitiva é
2x^{\frac{1}{2}} \;-\; 3x^{\frac{1}{3}} \;+\; 6x^{\frac{1}{6}} \;-\; 6\ln\bigl(1 + x^{\frac{1}{6}}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{2x^{\frac{1}{2}} \;-\; 3x^{\frac{1}{3}} \;+\; 6x^{\frac{1}{6}} \;-\; 6\ln\bigl(1 + x^{\frac{1}{6}}\bigr) + C.}

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