1. Calcule \int_{0}^{\pi^{2}} \cos \sqrt{x} d x.
Sugestão: faça uma substituição algébrica antes de aplicar a integração por partes:
\begin{aligned} u & =\sqrt{x} \\\ d u & =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} d x \end{aligned}
Agora, o toque mais sutil:
d x=2 u d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi^{2}} \cos\sqrt{x}\,dx
e sugere uma substituição algébrica para eliminar a raiz antes de aplicar integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{x}\quad\Longrightarrow\quad x = u^{2},
de onde
du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx = \frac{1}{2u}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = 2u\,du.
Quando x vai de 0 a \pi^{2}, u vai de 0 a \pi. Logo
\int_{0}^{\pi^{2}} \cos\sqrt{x}\,dx = \int_{u=0}^{u=\pi}\cos(u)\,\bigl(2u\,du\bigr) = 2\int_{0}^{\pi}u\cos u\,du.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{\pi}u\cos u\,du
usamos integração por partes. Tome
\begin{cases} t = u &\Longrightarrow\quad dt = du,\\\ dv = \cos u\,du &\Longrightarrow\quad v = \sin u. \end{cases}
Então
\int u\cos u\,du = u\sin u - \int \sin u\,du = u\sin u + \cos u + C.
Logo
2\int_{0}^{\pi}u\cos u\,du = 2\bigl[u\sin u + \cos u\bigr]_{0}^{\pi}.

Passo 4

Avaliando em u=\pi e u=0:
u\sin u + \cos u\Big|_{0}^{\pi} = \bigl(\pi\cdot0 + (-1)\bigr) - \bigl(0\cdot0 + 1\bigr) = -1 - 1 = -2.
Multiplicando por 2
2\cdot(-2) = -4.

Resposta

-4

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