Calcule as seguintes integrais:
6. \int \frac{1-2 x}{x^{2}+3 x+2} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1-2x}{x^{2}+3x+2}\,dx.
O conteúdo aqui é decomposição em fração parcial, pois o grau do numerador é menor que o do denominador.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Em seguida escrevemos
\frac{1-2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2)\) obtemos \[1-2x = A(x+2) + B(x+1) = (A+B)\,x + (2A + B).
Comparando coeficientes em x e constantes:
\begin{cases} A + B = -2,\\\\ 2A + B = 1, \end{cases}
resolvendo dá A=3\] e \(B=-5.

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
\int \frac{1-2x}{x^{2}+3x+2}\,dx = \int\Bigl(\frac{3}{x+1}-\frac{5}{x+2}\Bigr)\,dx =3\int\frac{dx}{x+1}-5\int\frac{dx}{x+2}.
Cada termo é logaritmo:
3\int\frac{dx}{x+1}=3\ln\lvert x+1\rvert, \quad -5\int\frac{dx}{x+2}=-5\ln\lvert x+2\rvert.

Resposta

3\ln\lvert x+1\rvert \;-\; 5\ln\lvert x+2\rvert + C.

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