Calcule as seguintes integrais:
5. \int \frac{3 x-1}{x^{2}-x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x - 1}{x^2 - x}\,dx.
Aqui o conteúdo é integração de fração racional e vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro observamos que o denominador fatora como
x^2 - x = x(x-1).
Assim podemos escrever
\frac{3x - 1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x-1)\) obtemos \[3x - 1 = A(x-1) + Bx = (A + B)x - A.
Comparando coeficientes em x e termo constante, temos o sistema
\begin{cases} A + B = 3,\\\\ -\,A = -1, \end{cases}
logo A = 1\] e \(B = 2. Portanto
\frac{3x - 1}{x^2 - x} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1}.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| + C_1,
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln\bigl|x-1\bigr| + C_2.
Somando e absorvendo C_1 + C_2 num único C, a integral original fica
\int \frac{3x - 1}{x^2 - x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| + 2\ln\bigl|x-1\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{3x - 1}{x^2 - x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| + 2\ln\bigl|x-1\bigr| + C.

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