Calcule as seguintes integrais:
a) \int(x+1) \operatorname{sen} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (x+1)\sin x\,dx.
Este é um problema de integração indefinida que exige decompor a integral em duas partes e usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Decompondo a integral, temos
\int (x+1)\sin x\,dx = \int x\sin x\,dx \;+\;\int \sin x\,dx.
Assim, basta resolver separadamente \int x\sin x\,dx e \int \sin x\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int x\sin x\,dx, aplicamos integração por partes. Escolhemos
u = x,\quad dv = \sin x\,dx
du = dx,\quad v = -\cos x.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int x\sin x\,dx = -x\cos x \;-\;\int\bigl(-\cos x\bigr)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.

Passo 4

Calculamos agora
\int \sin x\,dx = -\cos x.
Somando as duas parcelas,
\int (x+1)\sin x\,dx = \bigl(-x\cos x + \sin x\bigr) + \bigl(-\cos x\bigr) = -x\cos x + \sin x - \cos x.

Resposta

-x\cos x + \sin x - \cos x + C.

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