Calcule:
\int_{1}^{x^{2}} \ln (t+1) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{x^{2}} \ln(t+1)\,dt
O conteúdo principal aqui é encontrar uma primitiva de \ln(t+1) (usando, por exemplo, substituição e a fórmula de integração por partes implícita em \int \ln u\,du) e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar entre os limites t=1 e t=x^2.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva de \ln(t+1). Faça a troca de variável
u = t+1\quad\Longrightarrow\quad du = dt.
Então
\int \ln(t+1)\,dt = \int \ln(u)\,du.
Sabemos que
\int \ln(u)\,du = u\ln(u) - u + C.

Passo 3

Voltando a t, como u=t+1, obtemos
\int \ln(t+1)\,dt = (t+1)\ln(t+1) - (t+1) + C.
Podemos reorganizar absorvendo o “ -1” em C, ficando
F(t) = (t+1)\ln(t+1) - t + C.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo entre 1 e x^2:
\int_{1}^{x^{2}} \ln(t+1)\,dt = F(x^2) - F(1).
Calcule cada termo:
F(x^2) = \bigl(x^2+1\bigr)\ln(x^2+1) - x^2,
F(1) = (1+1)\ln(1+1) - 1 = 2\ln2 - 1.
Logo
\int_{1}^{x^{2}} \ln(t+1)\,dt = \bigl(x^2+1\bigr)\ln(x^2+1) - x^2 \;-\;\bigl(2\ln2 - 1\bigr).

Resposta

\boxed{ \int_{1}^{x^{2}} \ln(t+1)\,dt = (x^{2}+1)\ln(x^{2}+1)\;-\;x^{2}\;-\;2\ln2\;+\;1. }

Exercícios relacionados